$\angle~{\rm ADE} = \dfrac{\pi}{3}$ かつ $\angle~{\rm AED} = \dfrac{\pi}{2}$ より

$|\overrightarrow{{\rm AE}}| = |\overrightarrow{{\rm AD}}| \sin \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

である。

$\angle~{\rm EBC} = \dfrac{\pi}{3}$ かつ $\angle~{\rm ECB} = \dfrac{\pi}{2}$ より

$|\overrightarrow{{\rm CE}}| = |\overrightarrow{{\rm BC}}| \tan \dfrac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$

よって $|\overrightarrow{{\rm CE}}| = 2\sqrt{3}$ である。

$\angle~{\rm ACF} = \dfrac{\pi}{6}$ かつ $\angle~{\rm CAF} = \dfrac{\pi}{2}$ であるから, 

$|\overrightarrow{{\rm FA}}| = |\overrightarrow{{\rm AC}}| \tan \dfrac{\pi}{6}$

よって $|\overrightarrow{{\rm FA}}| = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$ である。

${\rm ABCDEF}$ は正六角形であるから, $|\overrightarrow{{\rm CF}}| = 2|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ である。

よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}| = \dfrac{1}{2}$ である。