(1)
$\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ となるのは

$\theta = \dfrac{\pi}{6} \pm 2n\pi,~\dfrac{5}{6}\pi \pm 2n\pi$

の時です。

$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} \dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから $\sin^{-1} \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ となります。

(2)
$\cos \theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは

$\theta = \dfrac{3}{4}\pi \pm 2n\pi,~\dfrac{5}{4}\pi \pm 2n\pi$

の時です。

$0 \leqq \cos^{-1} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\leqq \pi$ であるから $\cos^{-1} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3}{4}\pi$ となります。

(3)
$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは

$\theta = \dfrac{\pi}{3} \pm n\pi$

の時です。

$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \tan^{-1} \sqrt{3} \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから $\tan^{-1} \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$ となります。

(1)
$y = \sin^{-1} x$ について, 定義域は

$-1 \leqq x \leqq 1$

であるから $y = 2\sin^{-1}\left( x - \dfrac{1}{2} \right)$ の定義域は

$-1 \leqq x - \dfrac{1}{2} \leqq 1$

より $-\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq \dfrac{3}{2}$ となります。また $y = \sin^{-1} x$ の値域は

$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$

であるので, $y = 2\sin^{-1}\left( x - \dfrac{1}{2} \right)$ の値域は

$-\pi \leqq 2\sin^{-1}\left( x - \dfrac{1}{2} \right) \leqq \pi$

となります。

(2)
$y = \cos^{-1} x$ について, 定義域は

$-1 \leqq x \leqq 1$

であるから $y = -\cos^{-1}\left( 2x + 1 \right)$ の定義域は

$-1 \leqq 2x + 1 \leqq 1$

より $-1 \leqq x \leqq 0$ となります。また $y = \cos^{-1} x$ の値域は

$0 \leqq \cos^{-1} x \leqq \pi$

であるので, $y = -\cos^{-1}\left( 2x + 1\right)$ の値域は

$-\pi \leqq -\cos^{-1}\left( 2x + 1 \right) \leqq 0$

となります。

(3)
$y = \tan^{-1} x$ について, 定義域は実数全体なので $y=\dfrac{1}{2} \tan^{-1}\left( \dfrac{1}{2}x +2 \right)$ の定義域も実数全体になります。

また $y = \tan^{-1} x$ の値域は

$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \tan^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$

であるので, $y = \dfrac{1}{2} \tan^{-1}\left( \dfrac{1}{2}x +2 \right)$ の値域は

$-\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{1}{2} \tan^{-1}\left( \dfrac{1}{2}x +2 \right) \leqq \dfrac{\pi}{4}$

となります。

(1)
$y = \sin^{-1} x$ の導関数は

$y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

であるから, 合成関数の微分法より

$f'(x) = \dfrac{(2x)'}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

となります。

(2)
$y = \cos^{-1} x$ の導関数は

$y' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

であるから, 合成関数の微分法より

$f'(x) = -\dfrac{(x^2)'}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} = -\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

となります。

(3)
$y = \tan^{-1} x$ の導関数は

$y' = \dfrac{1}{1+x^2}$

であるから, 合成関数の微分法より

$f'(x) = \dfrac{(2x+1)'}{1 + (2x+1)^2} = \dfrac{2}{4x^2 +4x + 2} = \dfrac{1}{2x^2 + 2x + 1}$

となります。