3. 導関数例題集

$Q1$.
定義に従って次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = x^2 -5x+9$

(2) $f(x) = 3x^3 -5x$

(3) $f(x) = C~~$ ($C$ は定数)

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = 2x -5$

(2) $f'(x) = 9x^2 -5$

(3) $f'(x) = 0$

導関数の定義通りに計算していきます。

(1)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{ \left((x+h)^2 - 5(x+h) +9 \right) - \left( x^2 -5x +9\right)}{ h } \\[1em] & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{ 2hx + h^2 - 5h}{h}\\[1em] & = & \lim_{h\to 0}(2x+h-5) = 2x -5 \end{eqnarray*}$ $

(2)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{ \left(3(x+h)^3 - 5(x+h) \right) - \left( 3x^3 -5x \right)}{ h } \\[1em] & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{ 9hx^2 + 9h^2x + 3h^3 - 5h}{h}\\[1em] & = & \lim_{h\to 0}(9x^2 + 9hx + 3h^2 -5) = 9x^2 -5 \end{eqnarray*}$ $

(3)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \lim_{h\to 0} \dfrac{ C - C }{ h }=0 \end{eqnarray*}$ $

$Q2$.
$n$ を自然数として, 次の等式を証明しなさい。

(1) $\left( x^n \right)' = nx^{n-1}$

(2) $\left( x^{-n} \right)' = -nx^{-n-1}$

解答・解説を見る

(1)
$f(x) = x^n$ とすると, 二項定理より

$\displaystyle f(x+h) = (x+h)^n = \sum_{k=0}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k}x^{n-k} = x^n + \sum_{k=1}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k}x^{n-k}$

である。よって

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{ (x+h)^n - x^n}{h}\\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{1}{h} \left\{ \left( x^n + \sum_{k=1}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k}x^{n-k}\right) - x^n \right\} \\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\dfrac{1}{h} \left( \sum_{k=1}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k}x^{n-k} \right)\\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\left( \sum_{k=1}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k-1}x^{n-k} \right)\\[1em] & = & \lim_{h \to 0}\left( {}_n\!{\rm C}_1 x^{n-1} + \sum_{k=2}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k-1}x^{n-k} \right)\\[1em] & = & {}_n\!{\rm C}_1 x^{n-1} + \lim_{h \to 0} \left( \sum_{k=2}^n {}_n\!{\rm C}_kh^{k-1}x^{n-k} \right)\\[1em] & = & nx^{n-1} + 0 = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ $

よって $\left( x^n \right)' = nx^{n-1}$ が成り立つ。

(2)
微分の公式

$\left( \dfrac{1}{g(x)}\right)' = -\dfrac{g'(x)}{ \left\{ g(x) \right\}^2 }$

を用いると

$ $\begin{eqnarray*} \left( x^{-n} \right) & = & \left( \dfrac{1}{x^n} \right)' \\[1em] & = & -\dfrac{ \left( x^n \right)'}{\left(x^n \right)^2}\\[1em] & = & -\dfrac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{(n-1) - 2n} = -n x^{-n-1} \end{eqnarray*}$ $

よって $\left( x^{-n} \right)' = -n x^{-n-1}$ が成り立つ。

この例題から, 整数 $n$ に対し

$\left( x^n \right)' = nx^{n-1}$

が成り立つことがわかります。

$Q3$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = 2x^3+17x^2+70x$

(2) $f(x) = 4x^5 - 3x^4 + \dfrac{1}{x^3} - \dfrac{2}{x^2}$

(3) $f(x) = \dfrac{x-2}{x+3}$

(4) $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = 6x^2 + 34x + 70$

(2) $f'(x) = 20x^4 - 12x^3 - \dfrac{3}{x^4} + \dfrac{4}{x^3}$

(3) $f'(x) = \dfrac{5}{(x+3)^2}$

(4) $f'(x) = -\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}$

微分の公式を利用して計算していきましょう。

(1)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( 2x^3+17x^2+70x \right)'\\[1em] & = & 2\left( x^3 \right)' + 17\left( x^2 \right)' + 70\left( x \right)'\\[1em] & = & 2\cdot 3x^2 + 17 \cdot 2x + 70\cdot 1\\[1em] & = & 6x^2 + 34x + 70 \end{eqnarray*}$ $

(2)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( 4x^5 - 3x^4 + \dfrac{1}{x^3} - \dfrac{2}{x^2} \right)'\\[1em] & = & 4\left( x^5 \right)' - 3\left( x^4 \right)' + \left( x^{-3} \right)- 2\left( x^{-2} \right)'\\[1em] & = & 4\cdot 5x^4 - 3 \cdot 4x^3 + (-3x^{-4}) - 2\cdot (-2x^{-3}) \\[1em] & = & 20x^4 - 12x^3 - \dfrac{3}{x^4} + \dfrac{4}{x^3} \end{eqnarray*}$ $

(3)
なるべく簡単な形に変形してから計算しましょう

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( \dfrac{x-2}{x+3} \right)'\\[1em] & = & \left( \dfrac{ (x+3) - 5}{x+3} \right)'\\[1em] & = & \left(1 - \dfrac{5}{x+3} \right)'\\[1em] & = & \left( 1 \right)'- 5\left( \dfrac{1}{x+3} \right)'\\[1em] & = & 0-5 \cdot \left(- \dfrac{(x+3)'}{(x+3)^2} \right) = \dfrac{5}{(x+3)^2} \end{eqnarray*}$ $

(4)

$ $\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( \dfrac{x}{x^2+1} \right)'\\[1em] & = & \dfrac{(x)' (x^2+1) - x (x^2+1 )'}{(x^2+1)^2}\\[1em] & = & \dfrac{1\cdot(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\[1em] & = & \dfrac{-x^2 +1}{(x^2+1)^2} = -\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ $

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