$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると

$\begin{eqnarray*} & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6}\\ =& \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}}}{1 - \dfrac{6}{x} }\\[1em]  =& \dfrac{\sqrt{9 - 0 + 0 }}{1 - 0} = 3 \end{eqnarray*}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6} = 3$ である。

$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると

$\begin{aligned} &\lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16 + \dfrac{9}{x} - \dfrac{9}{x^2}}}{-4 + \dfrac{4}{x} }\\[1em]  = &\dfrac{\sqrt{16 + 0 - 0 }}{-4 - 0}\\[1em] = &\dfrac{4}{-4} = -1 \end{aligned}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4} = -1$ である。

$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+4x+1) - (x-10)^2}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24x - 99}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24 - \dfrac{99}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2} } + 1 - \dfrac{10}{x} }\\[1em] = & \dfrac{24}{1 + 1} = 12 \end{aligned}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 12$ である。

$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }{\sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(16x^2+16x+3) - (4x+ 2)^2}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-1}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - \dfrac{1}{x}}{ \sqrt{16 + \dfrac{16}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + 4 + \dfrac{2}{x} }= 0 \end{aligned}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 0$ である。

$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x +4) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x+4) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }{\sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(9x^2+36x+5) - (3x+4)^2}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12x - 11}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12 - \dfrac{11}{x}}{ \sqrt{9 + \dfrac{36}{x} + \dfrac{5}{x^2} } + 3 + \dfrac{4}{x} }\\[1em] = & \dfrac{12}{3 + 3} = 2 \end{aligned}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x + 4) \right\} = 2$ である。

$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} \\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+2x+3) - (x^2 + 4x - 3)}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x + 6}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2 + \dfrac{6}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x^2} }}\\[1em] = & \dfrac{-2}{1 + 1} = -1 \end{aligned}$

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} = -1$ である。