行列 $A = \begin{pmatrix} -12 & 10 \\ -11 & 15 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -5 \\ 11 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -12 - \lambda & 10 \\ -11 & 15 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-12 - \lambda)(15 - \lambda) + 110\\[1em] & = & \lambda^2 - 3\lambda - 70\\[1em] & = & (\lambda+7)(\lambda-10)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = 10$
である。
$\lambda = -7$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 7E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -5 & 10 \\ -11 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 5x + 10y \\ -11x + 22y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $x = 2y$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & 15 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -6 - \lambda & 15 \\ -2 & 7 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-6 - \lambda)(7 - \lambda) + 30\\[1em] & = & \lambda^2 - \lambda - 12\\[1em] & = & (\lambda+3)(\lambda-4)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 4$
である。
$\lambda = -3$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 3E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} -3 & 15 \\ -2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 3x + 15y \\ -2x + 10y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $x = 5y$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 5y \\ y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 7 - \lambda & -1 \\ 3 & 3 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (7 - \lambda)(3 - \lambda) + 3\\[1em] & = & \lambda^2 - 10\lambda + 24\\[1em] & = & (\lambda-4)(\lambda-6)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 6$
である。
$\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A - 4E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x - y \\ 3x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = 3x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ 3x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 13 & 14 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} 13 - \lambda & 14 \\ 4 & 12 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (13 - \lambda)(12 - \lambda) - 56 \\[1em] & = & \lambda^2 - 25\lambda + 100\\[1em] & = & (\lambda-5)(\lambda-20)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 20$
である。
$\lambda = 5$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A - 5E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8x + 14y \\ 4x + 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = -\dfrac{4}{7}x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ -\dfrac{4}{7}x \end{pmatrix} = \dfrac{1}{7}x\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} -13 & -1 \\ -5 & -9 \end{pmatrix}$ の $2$ つの固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 \lt \lambda_2$) とした時, $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$c\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}~(c\not=0)$
$|A - \lambda E| = 0$ とすると
$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix} -13 - \lambda & -1 \\ -5 & -9 - \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-13 - \lambda)(-9 - \lambda) - 5\\[1em] & = & \lambda^2 + 22\lambda + 112\\[1em] & = & (\lambda+14)(\lambda+8)=0\end{eqnarray*}$
$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より
$\lambda_1 = -14$, $\lambda_2 = -8$
である。
$\lambda = -14$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とし
$\left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{eqnarray*} \left( A + 14E\right)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x - y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ここから $y = x$ となる。代入すると
$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって, 求める固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}~(c\not=0)$ である。