$Q1$.
平面上の点を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{6}$ だけ回転させる線形変換を表す行列を求めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
空間内の点を $y$ 軸のまわりに $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転させる線形変換を表す行列を求めなさい。
解答・解説を見る空間内の点を $z$ 軸のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
という行列で表されるので $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ とすれば
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} & 0 \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
となります。
$Q3$.
次の等式を証明しなさい。
解答・解説を見る$R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ とすると, $R_{\theta}$ は平面上の点を原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を表す行列である。
よって $(R_{\theta})^n$ はそのような線形変換を $n$ 回合成して得られる線形変換を表す行列である。
一方, 原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換を $n$ 回合成して得られる線形変換は, 原点のまわりに $n \theta$ だけ回転させる線形変換になるので
$(R_{\theta})^n = R_{n\theta}$
すなわち, $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{pmatrix}$ が成り立つ。
原点のまわりに $\theta$ だけ回転させる線形変換は
$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
という行列で表されます。$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ とすると
$\begin{pmatrix} \cos \dfrac{\pi}{6} & -\sin \dfrac{\pi}{6} \\ \sin \dfrac{\pi}{6} & \cos \dfrac{\pi}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
となります。