$I_c = \displaystyle \int_0^{c} e^{-x^2}~dx$

と置くと

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}~dx = \lim_{c\to \infty} \int_0^c e^{-x^2}~dx = \lim_{c\to \infty}I_c$

である。ここで

$\displaystyle \int_0^c\int_0^c e^{-(x^2+y^2)}~dxdy$

を考えると

$ $$\begin{eqnarray*}\int_0^c\int_0^c e^{-(x^2+y^2)}~dxdy & = & \int_0^c\int_0^c e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}~dxdy\\[1em] & = & \int_0^c \left\{ \int_0^c e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}~dx ~\right\}dy\\[1em] & = & \int_0^c \left\{ e^{-y^2}\left( \int_0^c e^{-x^2}~dx \right)~\right\}dy\\[1em] & = & \int_0^c I_ce^{-y^2}dy = I_c \int_0^c e^{-y^2}dy = I_c^2 \end{eqnarray*}$$ $

よって $\displaystyle \int_0^c\int_0^c e^{-(x^2+y^2)}~dxdy = I_c^2$ が成り立つ。ここで

$R_c = \{ (x,y)~|~0\leqq x \leqq c,~0 \leqq y \leqq c\}$

$D_c = \{ (x,y)~|~0\leqq x,~0\leqq y,~x^2+y^2 \leqq c^2\}$

とすると

$\displaystyle I_c^2 = \int_0^c\int_0^c e^{-(x^2+y^2)}~dxdy = \iint_{R_c} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy$

また, $e^{-(x^2+y^2)} \gt 0$ かつ

$D_c \subset R_c \subset D_{2c}$

であるから

$\displaystyle \iint_{D_c} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy \leqq \iint_{R_c} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy \leqq \iint_{D_{2c}} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy$

が成り立つ。

$\displaystyle \iint_{D_c} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^c e^{-r^2}r~drd\theta = \dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-c^2} \right)$

$\displaystyle \iint_{D_{2c}} e^{-(x^2+y^2)}~dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2c} e^{-r^2}r~drd\theta = \dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-4c^2}\right)$

であるから, まとめると

$\dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-c^2} \right) \leqq I_c^2 \leqq \dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-4c^2} \right)$

$\dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-c^2} \right) \gt 0$ より

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-c^2} \right)} \leqq I_c \leqq \sqrt{\dfrac{\pi}{4}\left( 1- e^{-4c^2} \right)}$

$c \to \infty$ とすれば

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \leqq \lim_{c\to \infty}I_c \leqq \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

よって $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}~dx = \lim_{c\to \infty}I_c = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ が成り立つ。