$2$ 変数関数 $f(x,y)$ について, $x$ と $y$ がそれぞれ $u$ と $v$ に関する $2$ 変数関数である時

$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v))\left| \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}\right|~dudv$

が成り立ちます。

上の積分に現れた

$\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $

を ヤコビアン といい, 通常 $J$ と表します。

積分する時は, ヤコビアンの絶対値を取ることを忘れないようにしましょう。

$\left\{ \begin{aligned} u & = 2x+y \\ v &= -2x+y \end{aligned}\right.$

と置くと $0 \leqq u \leqq 2,~0 \leqq v \leqq 2$ となります。この時

$ x = \dfrac{u-v}{4},~~ y = \dfrac{u+v}{2} $

となるので, ヤコビアン $J$ は

$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cfrac{1}{4} & -\cfrac{1}{4} \\ \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{2} \end{vmatrix} = \dfrac{1}{4}$

$x+y = \dfrac{3u+v}{4}$ より, $2$ 重積分は

$\begin{eqnarray*} \iint_D (x+y)\ dxdy & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \left( \cfrac{3u+v}{4} \right) \left|J\right| \ dudv\\[1em] & = & \cfrac{1}{4} \int_{0}^{2} \left\{\int_{0}^{2} \left( \dfrac{3u}{4} + \dfrac{v}{4} \right)\ du\right\}\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{16} \int_{0}^{2} \left[\cfrac{3u^2}{2}+uv\right]_0^2\ dv \\[1em] & = & \cfrac{1}{16} \int_{0}^{2} (6+2v)\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{16} [\ 6v+v^2\ ]_0^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\left\{ \begin{aligned} u & = x+y \\ v &= -x+2y \end{aligned}\right.$

と置くと $0 \leqq u \leqq 3,~0 \leqq v \leqq 2$ となります。この時

$ x = \dfrac{2u-v}{3},~~ y = \dfrac{u+v}{3} $

となるので, ヤコビアン $J$ は

$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cfrac{2}{3} & -\cfrac{1}{3} \\ \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{3} \end{vmatrix} = \dfrac{1}{3}$

$x-y = \dfrac{u-2v}{3}$ より, $2$ 重積分は

$\begin{eqnarray*} \iint_D (x-y)^2 \ dxdy & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} \left(\cfrac{u-2v}{3}\right)^2\left| J \right| \ dudv\\[1em] & = & \cfrac{1}{3} \int_{0}^{2} \left\{\int_{0}^{3} \left(\cfrac{u-2v}{3}\right)^2\ du\right\}\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{27} \int_{0}^{2} \left\{\int_{0}^{3} (u^2-4uv+4v^2 )\ du\right\}\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{27} \int_{0}^{2} \left[\cfrac{1}{3} u^3-2u^2 v+4uv^2 \right]_0^3\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{27} \int_{0}^{2} (9-18v+12v^2 )\ dv\\[1em] & = & \cfrac{1}{27} [\ 9v-9v^2+4v^3\ ]_0^2 =\cfrac{14}{27} \end{eqnarray*}$

$\left\{ \begin{aligned} x & = r\cos \theta \\ y &= r\sin \theta \end{aligned}\right.$

と置く変数変換を 極座標変換 といいます。この時, ヤコビアン $J$ は

$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{vmatrix} = r$

となります。

$\left\{ \begin{aligned} x & = r\cos \theta \\ y &= r\sin \theta \end{aligned}\right.$

と置いて積分範囲を求めましょう。

$ x^2 + y^2 = r^2 \leqq 1 $

かつ $0 \leqq r$ なので $0 \leqq r \leqq 1$ となります。また, $0 \leqq x,y$ より

$0 \leqq \sin \theta$ かつ $0 \leqq \cos \theta$

この条件を満たす $\theta$ の範囲は $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となります。よって

$D'=\{(r,\theta)~|~0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2},~0\leqq r \leqq 1\}$

とすれば

$\begin{eqnarray*} \iint_D y\,dxdy & = & \iint_{D'} r\sin \theta \cdot r\ drd\theta \\[1em] & = &\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left\{ \int_{0}^{1} r^2 \sin \theta \ dr\right\} \ d\theta \\[1em] & = & \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left[\cfrac{1}{3} r^3 \sin \theta \right]_0^1 \ d\theta \\[1em] & = & \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \cfrac{1}{3} \sin \theta \ d\theta = \cfrac{1}{3} [-\cos \theta \ ]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\left\{ \begin{aligned} x & = r\cos \theta \\ y &= r\sin \theta \end{aligned}\right.$

と置くと $9 \leqq x^2 + y^2 \leqq 16$ より

$ 3^2 \leqq r^2 \leqq 4^2 $

$0 \leqq r$ なので $3 \leqq r \leqq 4$ となります。

また, $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ なので領域 $D'$ を

$D'=\{(r,\theta)~|~0\leqq \theta \leqq 2\pi,~3\leqq r \leqq 4\}$

とすれば

$\begin{eqnarray*} \iint_D \sqrt{x^2+y^2} \,dxdy & = & \iint_{D'} r\cdot r\ drd\theta \\[1em] & = & \int_{0}^{2\pi} \left\{ \int_{3}^{4} r^2 \ dr \right\} \ d\theta \\[1em] & = & \int_{0}^{2\pi} \left[\cfrac{1}{3} r^3 \right]_3^4 \ d\theta \\[1em] & = & \int_{0}^{2\pi} \cfrac{37}{3} \ d\theta = \cfrac{37}{3} [\ \theta \ ]_0^{2\pi} =\dfrac{74}{3}\pi \end{eqnarray*}$