$Q1$.
次の $2$ 重積分の値を計算しなさい。
$Q2$.
次の $2$ 重積分の値を計算しなさい。
領域 $D$ が
$D:a \leqq x \leqq b,~g_1(x)\leqq y \leqq g_2(x)$
のように $y$ の区間が $x$ の関数を用いて表されている時, $D$ における $2$ 重積分は
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_a^b \left\{ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~dy\right\}~dx$
と計算することができます。同様に, 領域 $D$ が
$D:h_1(y) \leqq x \leqq h_2(y),~c \leqq y \leqq d$
のように $x$ の区間が $y$ の関数を用いて表されている時, $D$ における $2$ 重積分は
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_c^d \left\{ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~dx\right\}~dy$
と計算することができます。
(1)
$y$ から積分していきます。
$∬D(x+y)dxdy=∫21{∫x20(y+x) dy} dx=∫21[12y2+xy]x20 dx=∫21(12x4+x3) dx=[110x5+14x4]21=13720$
(2)
$x$ から積分していきます。
$∬D(x+y)dxdy=∫41{∫√y1(x+y) dx} dy=∫41[12x2+xy]√y1 dy=∫41(12y+y√y−12−y) dy=∫41(y32−12y−12) dy=[25y52−14y2−12y]41=345−(−720)=14320$
(3)
$y$ から積分していきます。
$∬Dcos(x+y)dxdy=∫π0{∫x−πcos(x+y) dy} dx=∫π0[sin(x+y)]x−π dx=∫π0(sin2x−sin(x−π)) dx=∫π0(sin2x+sinx) dx=[−12cos2x−cosx]π0=2$
$Q3$.
関数 $f(x,y)$ が領域 $D$ 上の全ての点で $f(x,y)\geqq 0$ であり, $D$ が $2$ つの領域 $D_1,~D_2$ に分割される時
であることを証明しなさい。
$f(x,y)$ は $D_i$ 上で $f(x,y) \geqq 0$ であるので $2$ 重積分の性質から
$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \leqq \left| \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \right| \leqq \iint_{D_i} \left| f(x,y)\right| ~dxdy = \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy$
$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy = \left| \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \right|$ であるから
$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \geqq 0$
再び $2$ 重積分の性質から
$\displaystyle \iint_{D} f(x,y) ~dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) ~dxdy + \iint_{D_2} f(x,y) ~dxdy \geqq \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy$
よって $\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y)~dxdy \leqq \iint_D f(x,y)~dxdy$ が成り立つ。
$Q4$ [補足].
次の積分順序を交換しなさい。
領域 $D$ が
$D:a \leqq x \leqq b,~g_1(x)\leqq y \leqq g_2(x)$
であり, また
$D:h_1(y) \leqq x \leqq h_2(y),~c\leqq y \leqq d$
と表せている時, どちらの表し方をしても $2$ 重積分 $\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy$ の値は等しくなります。すなわち
$\displaystyle \int_a^b \left\{ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~dy\right\}~dx = \int_c^d \left\{ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~dx\right\}~dy$
が成り立ちます。このような操作を 積分順序を交換する といいます。
積分順序を交換する時は, 積分領域を図示してから範囲を求めるようにしましょう。
(1)
積分範囲は
$D:0 \leqq x \leqq 4,~2 \leqq y \leqq \dfrac{1}{2}x+2$
であり, これを図示すると下のようになります。

よって $2 \leqq y \leqq 4$ であり, $y =\dfrac{1}{2}x+2$ を $x$ について解くと
$x = 2y-4$
であるから, $2y-4 \leqq x \leqq 4$ となります。以上から
$\displaystyle \int_0^4\left\{ \int_{2}^{\frac{1}{2}x+2} f(x,y)~dy\right\} ~dx = \int_2^4\left\{ \int_{2y-4}^{4} f(x,y)~dx\right\} ~dy$
となります。
(2)
積分範囲は
$D:\sqrt{y} \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1$
$\sqrt{y} = x$ の時, $y = x^2$ であることに注意すると, この領域は下のようになります。

よって $0 \leqq x \leqq 1$ かつ $0 \leqq y \leqq x^2$ となるので, $2$ 重積分は
$\displaystyle \int_0^1\left\{ \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x,y)~dx\right\} ~dy = \int_0^1\left\{ \int_{0}^{x^2} f(x,y)~dy\right\} ~dx$
となります。
(3)
積分範囲は
$D:1 \leqq x \leqq e^2,~0 \leqq y \leqq \log x$
であり $\log e^2 = 2$ より, これを図示すると下のようになります。

よって $0 \leqq y \leqq 2$ であり, $x = e^y$ より
$ e^y \leqq x \leqq e^2$
となります。以上から $2$ 重積分は
$\displaystyle \int_1^{e^2}\left\{ \int_{0}^{\log x} f(x,y)~dy\right\} ~dx = \int_0^2\left\{ \int_{e^y}^{e^2} f(x,y)~dx\right\} ~dy$
となります。
$Q5$ [補足$2$].
次の $2$ 重積分を計算しなさい。
積分するのが難しい関数でも, 積分順序を交換することで積分できるようになることがあります。
領域 $D$ は
$D:y \leqq x \leqq 1,~0\leqq y \leqq 1$
より, 図示すると下のようになります。

図から $D:0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq x$ であるので, $2$ 重積分は
$∫10{∫1yex2 dx} dy=∫10{∫x0ex2 dy} dx=∫10[yex2]x0 dx=∫10xex2 dx=[12ex2]10=12(e−1)$
長方形領域 $D:a \leqq x \leqq b,~c\leqq y \leqq d$ における $2$ 重積分は
$∬Df(x,y) dxdy=∫dc{∫baf(x,y) dx} dy=∫ba{∫dcf(x,y) dy} dx$
と計算することができます。
偏微分の時と同様に, 片方の変数に関して積分している時は, もう一方の変数は定数として扱うことに注意しましょう。
(1)
$∬D(xy+x) dxdy=∫2−2{∫21(xy+x) dx} dy=∫2−2[12(y+1) x2]21 dy=∫2−232(y+1) dy=32[12y2+y]2−2=6$
(2)
$∬Dxydxdy=∫e21{∫73xy dx} dy=∫e21[12yx2]73 dy=∫e2120y dy=20[ logy ]e21=40$
(3)
積分しやすそうな $y$ から積分してみましょう。
$∬Dsin(x+y)dxdy=∫π6−π6{∫π0sin(x+y) dy} dx=∫π6−π6[−cos(x+y)]π0 dx=∫π6−π6(−cos(x+π)+cosx) dx=∫π6−π62cosx dx=2∫π602cosx dx=4[ sinx ]π60=2$