1. 2重積分 例題集

$Q1$.
次の $2$ 重積分の値を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \iint_D(xy+x)\ dxdy~~D:1 \leqq x \leqq 2,\ -2 \leqq y \leqq 2$
(2) $\displaystyle \iint_D \cfrac{x}{y} \ dxdy~~D:3 \leqq x \leqq 7,\ 1 \leqq y \leqq e^2$
(3) $\displaystyle \iint_D \sin (x+y)\ dxdy~~D:-\cfrac{\pi }{6} \leqq x \leqq \cfrac{\pi }{6},\ 0 \leqq y \leqq \pi$
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(1) $6$
(2) $40$
(3) $2$

長方形領域 $D:a \leqq x \leqq b,~c\leqq y \leqq d$ における $2$ 重積分は

$Df(x,y) dxdy=dc{baf(x,y) dx} dy=ba{dcf(x,y) dy} dx$

と計算することができます。

偏微分の時と同様に, 片方の変数に関して積分している時は, もう一方の変数は定数として扱うことに注意しましょう。

(1)

$D(xy+x) dxdy=22{21(xy+x) dx} dy=22[12(y+1) x2]21 dy=2232(y+1) dy=32[12y2+y]22=6$

(2)

$Dxydxdy=e21{73xy dx} dy=e21[12yx2]73 dy=e2120y dy=20[ logy ]e21=40$

(3)
積分しやすそうな $y$ から積分してみましょう。

$Dsin(x+y)dxdy=π6π6{π0sin(x+y) dy} dx=π6π6[cos(x+y)]π0 dx=π6π6(cos(x+π)+cosx) dx=π6π62cosx dx=2π602cosx dx=4[ sinx ]π60=2$

$Q2$.
次の $2$ 重積分の値を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \iint_D (x+y)\ dxdy~~D:1 \leqq x \leqq 2,\ 0 \leqq y \leqq x^2$
(2) $\displaystyle \iint_D (x+y) \ dxdy~~D:1 \leqq x \leqq \sqrt{y},\ 1 \leqq y \leqq 4$
(3) $\displaystyle \iint_D \sin (x+y)\ dxdy~~D:0 \leqq x \leqq \pi ,\ -\pi \leqq y \leqq x$
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(1) $\cfrac{137}{20}$
(2) $\dfrac{143}{20}$
(3) $2$

領域 $D$ が

$D:a \leqq x \leqq b,~g_1(x)\leqq y \leqq g_2(x)$

のように $y$ の区間が $x$ の関数を用いて表されている時, $D$ における $2$ 重積分は

$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_a^b \left\{ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~dy\right\}~dx$

と計算することができます。同様に, 領域 $D$ が

$D:h_1(y) \leqq x \leqq h_2(y),~c \leqq y \leqq d$

のように $x$ の区間が $y$ の関数を用いて表されている時, $D$ における $2$ 重積分は

$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_c^d \left\{ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~dx\right\}~dy$

と計算することができます。

(1)
$y$ から積分していきます。

$D(x+y)dxdy=21{x20(y+x) dy} dx=21[12y2+xy]x20 dx=21(12x4+x3) dx=[110x5+14x4]21=13720$

(2)
$x$ から積分していきます。

$D(x+y)dxdy=41{y1(x+y) dx} dy=41[12x2+xy]y1 dy=41(12y+yy12y) dy=41(y3212y12) dy=[25y5214y212y]41=345(720)=14320$

(3)
$y$ から積分していきます。

$Dcos(x+y)dxdy=π0{xπcos(x+y) dy} dx=π0[sin(x+y)]xπ dx=π0(sin2xsin(xπ)) dx=π0(sin2x+sinx) dx=[12cos2xcosx]π0=2$

$Q3$.
関数 $f(x,y)$ が領域 $D$ 上の全ての点で $f(x,y)\geqq 0$ であり, $D$ が $2$ つの領域 $D_1,~D_2$ に分割される時

$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y)~dxdy \leqq \iint_D f(x,y)~dxdy~~~~(i=1,2)$

であることを証明しなさい。

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$f(x,y)$ は $D_i$ 上で $f(x,y) \geqq 0$ であるので $2$ 重積分の性質から

$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \leqq \left| \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \right| \leqq \iint_{D_i} \left| f(x,y)\right| ~dxdy = \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy$

$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy = \left| \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \right|$ であるから

$\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy \geqq 0$

再び $2$ 重積分の性質から

$\displaystyle \iint_{D} f(x,y) ~dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) ~dxdy + \iint_{D_2} f(x,y) ~dxdy \geqq \iint_{D_i} f(x,y) ~dxdy$

よって $\displaystyle \iint_{D_i} f(x,y)~dxdy \leqq \iint_D f(x,y)~dxdy$ が成り立つ。

$Q4$ [補足].
次の積分順序を交換しなさい。

(1) $\displaystyle \int_0^4\left\{ \int_{2}^{\frac{1}{2}x+2} f(x,y)~dy\right\} ~dx$
(2) $\displaystyle \int_0^1\left\{ \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y)~dx\right\} ~dy$
(3) $\displaystyle \int_1^{e^2}\left\{ \int_{0}^{\log x} f(x,y)~dy\right\} ~dx$
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(1) $\displaystyle \int_2^4\left\{ \int_{2y-4}^{4} f(x,y)~dx\right\} ~dy$
(2) $\displaystyle \int_0^1\left\{ \int_{0}^{x^2} f(x,y)~dy\right\} ~dx$
(3) $\displaystyle \int_0^2\left\{ \int_{e^y}^{e^2} f(x,y)~dx\right\} ~dy$

領域 $D$ が

$D:a \leqq x \leqq b,~g_1(x)\leqq y \leqq g_2(x)$

であり, また

$D:h_1(y) \leqq x \leqq h_2(y),~c\leqq y \leqq d$

と表せている時, どちらの表し方をしても $2$ 重積分 $\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy$ の値は等しくなります。すなわち

$\displaystyle \int_a^b \left\{ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~dy\right\}~dx = \int_c^d \left\{ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~dx\right\}~dy$

が成り立ちます。このような操作を 積分順序を交換する といいます。

積分順序を交換する時は, 積分領域を図示してから範囲を求めるようにしましょう。

(1)
積分範囲は

$D:0 \leqq x \leqq 4,~2 \leqq y \leqq \dfrac{1}{2}x+2$

であり, これを図示すると下のようになります。

よって $2 \leqq y \leqq 4$ であり, $y =\dfrac{1}{2}x+2$ を $x$ について解くと

$x = 2y-4$

であるから, $2y-4 \leqq x \leqq 4$ となります。以上から

$\displaystyle \int_0^4\left\{ \int_{2}^{\frac{1}{2}x+2} f(x,y)~dy\right\} ~dx = \int_2^4\left\{ \int_{2y-4}^{4} f(x,y)~dx\right\} ~dy$

となります。

(2)
積分範囲は

$D:\sqrt{y} \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1$

$\sqrt{y} = x$ の時, $y = x^2$ であることに注意すると, この領域は下のようになります。

よって $0 \leqq x \leqq 1$ かつ $0 \leqq y \leqq x^2$ となるので, $2$ 重積分は

$\displaystyle \int_0^1\left\{ \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x,y)~dx\right\} ~dy = \int_0^1\left\{ \int_{0}^{x^2} f(x,y)~dy\right\} ~dx$

となります。

(3)
積分範囲は

$D:1 \leqq x \leqq e^2,~0 \leqq y \leqq \log x$

であり $\log e^2 = 2$ より, これを図示すると下のようになります。

よって $0 \leqq y \leqq 2$ であり, $x = e^y$ より

$ e^y \leqq x \leqq e^2$

となります。以上から $2$ 重積分は

$\displaystyle \int_1^{e^2}\left\{ \int_{0}^{\log x} f(x,y)~dy\right\} ~dx = \int_0^2\left\{ \int_{e^y}^{e^2} f(x,y)~dx\right\} ~dy$

となります。

$Q5$ [補足$2$].
次の $2$ 重積分を計算しなさい。

$\displaystyle \int_0^1\left\{ \int_{y}^{1} e^{x^2}~dx \right\} ~dy$
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$\dfrac{1}{2}(e-1)$

積分するのが難しい関数でも, 積分順序を交換することで積分できるようになることがあります。

領域 $D$ は

$D:y \leqq x \leqq 1,~0\leqq y \leqq 1$

より, 図示すると下のようになります。

図から $D:0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq x$ であるので, $2$ 重積分は

$10{1yex2 dx} dy=10{x0ex2 dy} dx=10[yex2]x0 dx=10xex2 dx=[12ex2]10=12(e1)$