要点まとめ
- 重積分に関して, 次が成り立つ。
- $\displaystyle \iint_D kf(x,y)~dxdy = k\iint_D f(x,y)~dxdy~~$ ($k$ は定数)
- $\displaystyle \iint_D \left( f(x,y) \pm g(x,y) \right)~dxdy = \iint_D f(x,y)~dxdy \pm \iint_D g(x,y)~dxdy~~$
- 領域 $D$ を $2$ つの領域 $D_1$, $D_2$ に分割したとき
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \iint_{D_1} f(x,y)~dxdy + \iint_{D_2} f(x,y)~dxdy$
- 領域 $D$ 上で常に $f(x,y) \leqq g(x,y)$ ならば
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy \leqq \iint_D g(x,y)~dxdy$
- $\displaystyle \iint_D f(x,y) ~dxdy \leqq \left| \iint_D f(x,y)~dxdy \right| \leqq \iint_D \left| f(x,y) \right| ~dxdy$
- 領域 $D$ が
$D : a \leqq x \leqq b,~~g_1(x) \leqq y \leqq g_2(x)$
という形をしているとき, 重積分は次の式で計算できる。$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_a^b \left\{ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~dy \right\} dx$
- また, 領域 $D$ が
$D : h_1(y) \leqq x \leqq h_2(y),~~c \leqq y \leqq d$
という形をしているとき, 重積分は次の式で計算できる。$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \int_c^d \left\{ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~dx \right\} dy$
- 上のように定積分を繰り返して計算する積分を 累次積分 という。
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