I. 2重積分って何?
要点まとめ
- $2$ 変数関数に関する積分を $2$ 重積分, または 重積分 という。
- 重積分では, $1$ 変数の時のような不定積分は考えない。
- $xy$ 平面内の有界な領域 $D$ で連続かつ有界な $2$ 変数関数 $f(x,y)$ に対し, $D$ を小領域 $D_{ij}$ に分割し, 小領域 $D_{ij}$ への分割を限りなく細かくしていくにつれて
$\displaystyle \sum f(x_{ij},y_{ij}) ~ \Delta S_{ij}$
の値がある一定の値に限りなく近づくとき, その極限値 $V$ を $f(x,y)$ の $D$ における $2$ 重積分 という。$\displaystyle V = \lim \sum f(x_{ij},y_{ij}) ~ \Delta S_{ij}$
ここで $(x_{ij},y_{ij})$ は $D_{ij}$ 内の点, $\Delta S_{ij}$ は $D_{ij}$ の面積を表し, $\displaystyle \sum$ は全ての小領域に関する和を表す。 - $2$ 重積分が存在する時, その値を次のように表す。
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy$ または $\displaystyle \iint_D f(x,y)~dS$
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