(1)
分子と分母を $n^2$ で割ると

$\dfrac{5n^2+3}{2n^2-n} = \dfrac{5 + \dfrac{3}{n^2}}{2 - \dfrac{1}{n}}$

ここで

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 5 + \dfrac{3}{n^2} \right)= 5$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 2 - \dfrac{1}{n} \right)= 2$

であるから

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{5n^2+3}{2n^2-n} = \dfrac{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 5 + \dfrac{3}{n^2} \right)}{\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 2 - \dfrac{1}{n} \right) } = \dfrac{5}{2}$

(2)
分子と分母に $\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+4n+5}$ をかけると

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+4n+5} &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{n^2+n-(n^2+4n+5)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+4n+5}} \\[1em] &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{-3n-5}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+4n+5}} \\[1em] &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{ -3-\cfrac{5}{n} }{ \sqrt{1+\cfrac{1}{n}}+\sqrt{ 1+\cfrac{4}{n}+\cfrac{5}{n^2} } } \\[1em] &=& \dfrac{-3}{1 +1} = -\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}$

(3)
分母を有理化すると

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}-\sqrt{n^2+2n+4}}$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{n^2+3n+3}+\sqrt{n^2+2n+4}}{n^2+3n+3-(n^2+2n+4)}$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{n^2+3n+3}+\sqrt{n^2+2n+4}}{n-1}$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{ 1+\cfrac{3}{n}+\cfrac{3}{n^2} }+\sqrt{ 1+\cfrac{2}{n}+\cfrac{4}{n^2} } } { 1-\cfrac{1}{n} }$

$\displaystyle = \dfrac{1 +1}{1} = 2$

等比数列の極限 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} r^n$ は

$r \gt 1$ の時, 正の無限大に発散

$-1 \lt r \lt 1$ の時, $0$ に収束

$r \lt -1$ の時, 振動

となります。

(1)
$\dfrac{9}{8} \gt 1$ より

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \dfrac{9}{8}\right)^n = \infty$

(2)
$-1 \lt -0.3 \lt 1$ より

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( -0.3\right)^n = 0$

(3)
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} 2^n = \infty$ より

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} -2^n = -\infty$

(4)
$-2 \lt -1$ より $(-2)^n$ は振動します。

(5)
$(-1.3)^{2n} = \left( (-1.3)^2\right)^n = 1.69^n \gt 0$ であるから

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( -1.3\right)^{2n} = \infty$

(6)
$-1 \lt \dfrac{3}{4} \lt 1$ より

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \dfrac{3}{4}\right)^{n-1} = 0$