$f(x,y)=0$ という方程式から定まる $x$ の関数 $y$ に対し

$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}~~$ (ただし $f_y(x,y) \not=0$)

が成り立ちます。

(1)
$f(x,y) = 2y^2 + 3y + 9x^2 + 9x$ と置くと

$f_x(x,y) = 18x+9$

$f_y(x,y) = 4y+3$

よって

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)} = -\dfrac{18x+9}{4y+3}$

となります。

(2)
$f(x,y) = 7x \cos y + 2y \sin x$ と置くと

$f_x(x,y) = 7\cos y + 2y \cos x$

$f_y(x,y) = -7x\sin y + 2\sin x$

よって

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\cos y + 2y \cos x}{7x\sin y - 2\sin x}$

(3)
$f(x,y) =e^x\cos 6y + e^y\sin 2x$ と置くと

$f_x(x,y) = e^x\cos 6y + 2e^y\cos 2x$

$f_y(x,y) = -6e^x\sin 6y + e^y\sin 2x$

よって

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^x\cos 6y + 2e^y\cos 2x}{6e^x\sin 6y - e^y\sin 2x}$

$F(x,y,z)=0$ という方程式から定まる陰関数を $z = f(x,y)$ とすると

$f_x(x,y) = -\dfrac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}~~$ (ただし, $F_z(x,y,z)\not=0$)

$f_y(x,y) = -\dfrac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}~~$ (ただし, $F_z(x,y,z)\not=0$)

が成り立ちます。

(1)
$F(x,y,z) = 3z^2 + 3y^2 + 8x^2 + 4$ と置くと

$F_x(x,y,z) = 16x$

$F_y(x,y,z) = 6y$

$F_z(x,y,z) = 6z$

よって

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)} = -\dfrac{8x}{3z}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)} = -\dfrac{y}{z}$

となります。

(2)
$F(x,y,z) = xe^{5y}+ye^{4z}+ze^{3x}$ と置くと

$F_x(x,y,z) = e^{5y} + 3ze^{3x}$

$F_y(x,y,z) = 5xe^{5y} + e^{4z}$

$F_z(x,y,z) = 4ye^{4z} + e^{3x}$

よって

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{e^{5y} + 3ze^{3x}}{e^{3x} + 4ye^{4z}}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{e^{4z} + 5xe^{5y}}{e^{3x} + 4ye^{4z}}$

$F(x,y,z)=0$ から定まる曲面の, 点 $(a,b,c)$ における接平面の方程式は

$F_x(a,b,c)(x-a) + F_y(a,b,c)(y-b) + F_z(a,b,c)(z-c)=0$

と表すことができます。

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 -1$ とすると

$F_x(x,y,z) = 2x$

$F_y(x,y,z) = 2y$

$F_z(x,y,z) = 2z$

よって点 $\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ における接平面の方程式は

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) + \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(y - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) + \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(z - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) =0$

整理すると $x+y+z - \sqrt{3}=0$ となります。