偏導関数を計算すると

$f_x(x,y) = 4x+2y+6$

$f_y(x,y) = 2x+2y+6$

$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ とすると $(x,y) = (0,-3)$ となります。

また

$f_{xx}(x,y) = 4,~~f_{xy}(x,y) = 2,~~f_{yy}(x,y) =2$

より

$\{ f_{xy} \}^2 - f_{xx}f_{yy}=4-8=-4 \lt 0$

$f_{xx}(0,-3) = 4 \gt 0$ であるから, 関数 $f(x,y)$ は点 $(0,-3)$ で極小であることがわかります。

$f(0,-3) = 9-18 = -9$

よって $f(x,y)$ は点 $(0,-3)$ で極小値 $-9$ を取ります。

偏導関数を計算すると

$f_x(x,y) = 6x^2 + 18y$

$f_y(x,y) = 18x + 6y^2$

$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ とすると $y = -\dfrac{x^2}{3}$ より

$ $$\begin{eqnarray*}18x + \dfrac{2}{3}x^4 & = & \dfrac{2}{3}x(x^3 + 27)\\[1em] & = & \dfrac{2}{3}x(x+3)(x^2 - 3x + 9)=0 \end{eqnarray*}$$ $

$x^2-3x+9 \gt 0$ より $x=0,-3$ であり, 代入すると $(x,y) = (0,0),~(-3,-3)$ となります。

また, 第 $2$ 次偏導関数を計算すると

$f_{xx}(x,y) =12x,~~f_{xy}(x,y) = 18,~~f_{yy}(x,y) =12y$

となります。

$(x,y)=(0,0)$ の時

$f_{xx}(0,0) = f_{yy}(0,0)=0$

より

$\{ f_{xy} \}^2 - f_{xx}f_{yy}=18^2 \gt 0$

よって $f(x,y)$ は $(x,y)=(0,0)$ で極値を持ちません。

$(x,y)=(-3,-3)$ の時

$f_{xx}(-3,-3) = -36,~~f_{yy}(-3,-3) = -36$

より

$\{ f_{xy} \}^2 - f_{xx}f_{yy}=18^2 - (-36)^2\lt 0$

$f_{xx}(-3,-3) \lt 0$ より $f(x,y)$ は点 $(-3,-3)$ で極大になります。

$f(-3,-3) = -54 + 162 - 54 = 54$

よって, $f(x,y)$ は点 $(-3,-3)$ で極大値 $54$ を取ります。