要点まとめ
- $2$ 変数関数のマクローリン展開
何回でも偏微分可能な関数 $f(x,y)$ に対し, 次が成り立つ。
$\begin{eqnarray*}f(x,y) & = & f(0,0) + \left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right) f(0,0)\\[0.5em] & & + \dfrac{1}{2!}\left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^2f(0,0)\\[0.5em] & & + \cdots \\[0.5em] & & + \dfrac{1}{n!}\left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^nf(0,0) + \varepsilon \end{eqnarray*}$
- $2$ 変数関数のテイラー展開
何回でも偏微分可能な関数 $f(x,y)$ に対し, 次が成り立つ。
$\begin{eqnarray*}f(a+x,b+y) & = & f(a,b) + \left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right) f(a,b)\\[0.5em] & & + \dfrac{1}{2!}\left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^2f(a,b)\\[0.5em] & & + \cdots \\[0.5em] & & + \dfrac{1}{n!}\left(x \dfrac{\partial }{\partial x} + y\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^nf(a,b) + \varepsilon \end{eqnarray*}$
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