5. いろいろな不定積分の公式 例題集
$Q1$.
次の不定積分を求めなさい。
(1) $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ dx$
(2) $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+4} \ dx$
解答・解説を見る(1) $\sin^{-1} \dfrac{x}{3} + C~~$ ($C$ は積分定数)
(2) $\dfrac{1}{2}\tan^{-1} \dfrac{x}{2} + C~~$ ($C$ は積分定数)
$Q2$.
次の定積分の値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx$
(2) $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 1} \ dx$
(3) $\displaystyle \int_2^3 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-3}} \ dx$
解答・解説を見る(1) $\dfrac{\pi}{2}$
(2) $\dfrac{\pi}{4}$
(3) $\log \left(1+\sqrt{ \dfrac{2}{3} } \right)$
(1)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \sin^{-1} x + C~~$ ($C$ は積分定数)
であるので, $-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ に注意すると
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \left[ \sin^{-1} x \right]_0^1 = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}$
(2)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 1} \ dx = \tan^{-1} x + C~~$ ($C$ は積分定数)
であるので, $-\dfrac{\pi}{2} \lt \tan^{-1} x \lt \dfrac{\pi}{2}$ に注意すると
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^2+1} \ dx = \left[ \tan^{-1} x \right]_0^1 = \dfrac{\pi}{4} - 0 = \dfrac{\pi}{4}$
(3)
不定積分の公式
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}} ~ dx = \log |x + \sqrt{x^2+a} | + C~~$ ($C$ は積分定数)
を用いると
$∫321√x2−3 dx=[log|x+√x2−3|]32=log(3+√6)−log3=log(1+√23)$
(1)
不定積分の公式
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}~ dx = \sin^{-1} \dfrac{x}{a} + C~~$ ($C$ は積分定数)
を用いると
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}} ~ dx = \sin^{-1} \dfrac{x}{3} + C~~$ ($C$ は積分定数)
(2)
不定積分の公式
$\displaystyle \int \dfrac{1}{a^2+x^2} \ dx = \dfrac{1}{a}\tan^{-1} \dfrac{x}{a} + C~~$ ($C$ は積分定数)
を用いると
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+4} \ dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1} \dfrac{x}{2} + C~~$ ($C$ は積分定数)