(1)
不定積分の公式

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}~ dx = \sin^{-1} \dfrac{x}{a} + C~~$ ($C$ は積分定数)

を用いると

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}} ~ dx = \sin^{-1} \dfrac{x}{3} + C~~$ ($C$ は積分定数)

(2)
不定積分の公式

$\displaystyle \int \dfrac{1}{a^2+x^2} \ dx = \dfrac{1}{a}\tan^{-1} \dfrac{x}{a} + C~~$ ($C$ は積分定数)

を用いると

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+4} \ dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1} \dfrac{x}{2} + C~~$ ($C$ は積分定数)

(1)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \sin^{-1} x + C~~$ ($C$ は積分定数)

であるので, $-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ に注意すると

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \left[ \sin^{-1} x \right]_0^1 = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}$

(2)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 1} \ dx = \tan^{-1} x + C~~$ ($C$ は積分定数)

であるので, $-\dfrac{\pi}{2} \lt \tan^{-1} x \lt \dfrac{\pi}{2}$ に注意すると

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^2+1} \ dx = \left[ \tan^{-1} x \right]_0^1 = \dfrac{\pi}{4} - 0 = \dfrac{\pi}{4}$

(3)
不定積分の公式

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}} ~ dx = \log |x + \sqrt{x^2+a} | + C~~$ ($C$ は積分定数)

を用いると

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}\cfrac{1}{\sqrt{x^2-3}}\ dx & = & \left[\log \left|x+\sqrt{x^2-3}\right|\right]_2^3\\[0.5em] & = & \log (3+\sqrt{6})-\log 3=\log \left(1+\sqrt{\cfrac{2}{3}}\right) \end{eqnarray*}$