べき関数の不定積分

$\displaystyle \int x^a ~ dx = \dfrac{1}{a+1} x^{a+1} + C~~$ ($a\not=-1$ かつ $C$ は積分定数)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~ dx = \log|x| + C~~$ ($C$ は積分定数)

と積分の計算の性質

$\displaystyle \int \left\{ kf(x) + mg(x) \right\} ~ dx =k\int f(x)~dx + m\int g(x) ~dx$

を利用します。

(1)

$\displaystyle \int(2x+3)\ dx= \int 2x \ dx + \int 3\ dx = x^2+3x+C~~$ ($C$ は積分定数)

(2)

$ $$\begin{eqnarray*} \int (3x+2)(x+2)\ dx & = & \int (3x^2+8x+4)\ dx \\[0.5em] & = & x^3+4x^2+4x+C\end{eqnarray*}$$ ~~$ ($C$ は積分定数)

(3)

$\displaystyle \int \cfrac{1}{x}\ dx=\log |x|+C~~$ ($C$ は積分定数)

(4)

$ $$\begin{eqnarray*} \int \left( \dfrac{x^2 + 4x -6}{x^4}\right)  \ dx & = & \int \dfrac{1}{x^2} \ dx + 4\int \dfrac{1}{x^3} \ dx -6 \int \dfrac{1}{x^4} \ dx\\[0.5em] & = & -\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} + C\end{eqnarray*}$$ $ ($C$ は積分定数)

(1)

$ $$\begin{eqnarray*}\int \sqrt{2x} \ dx & = & \sqrt{2}\int x^{\frac{1}{2}}~dx\\[0.5em] & = & \dfrac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1} + C\\[0.5em] & = & \dfrac{2\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}x\sqrt{x} + C \end{eqnarray*}$$ ~~$ ($C$ は積分定数)

(2)

$ $$\begin{eqnarray*} \int 5\sqrt[3]{x^2}\ dx & = & 5\int x^{\frac{2}{3}}\ dx\\[0.5em] & = & \cfrac{5}{\frac{2}{3}+1} x^{\frac{2}{3}+1}+C\\[0.5em] & = & 3x^{\frac{5}{3}} + C = 3x\sqrt[3]{x^2} + C\end{eqnarray*}$$ ~~$ ($C$ は積分定数)

(3)

$ $$\begin{eqnarray*} \int \dfrac{1}{ \sqrt[5]{x^3} } \ dx & = & \int x^{-\frac{3}{5}}\ dx\\[0.5em] & = & \cfrac{1}{-\frac{3}{5}+1} x^{-\frac{3}{5}+1}+C\\[0.5em] & = & \dfrac{5}{2}x^{\frac{2}{5}} + C = \dfrac{5}{2}\sqrt[5]{x^2} + C\end{eqnarray*}$$ ~~$ ($C$ は積分定数)

(1)
三角関数の加法定理を用いると

$\sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \sin x + \cos x\right)$

よって

$ $$\begin{eqnarray*} \int \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)~dx & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \int \sin x~dx + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \int \cos x~dx\\[0.5em] & = & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x + C \end{eqnarray*}$$ $

ここで, 再び加法定理を用いると

$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\left( \cos x\cos \dfrac{\pi}{4} - \sin x \cos \dfrac{\pi}{4} \right) = -\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$

となるので

$\displaystyle \int \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \ dx = -\cos \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) + C~~$ ($C$ は積分定数)

となります。

(2)

$\left( e^{3x} \right)' = 3e^{3x}$

であるから

$\displaystyle \int 3e^{3x}~dx = e^{3x} + C$

が成り立ちます。よって

$\displaystyle \int e^{3x}~dx =\dfrac{1}{3}\int 3e^{3x}~dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C~~$ ($C$ は積分定数)

となります。

この性質を用いると, $Q3$ は

(1)

$\displaystyle \int \sin x ~ dx = -\cos x +C~~$ ($C$ は積分定数)

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \int \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \ dx & = & \dfrac{1}{1} \left\{-\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right\} +C\\[0.5em] & = & -\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)+C\end{eqnarray*}$$ ~~$($C$ は積分定数)

(2)

$\displaystyle \int e^{x} \ dx = e^x+C~~$ ($C$ は積分定数)

であるから

$\displaystyle \int e^{3x}~dx =\dfrac{1}{3}e^{3x} + C~~$ ($C$ は積分定数)

と簡単に解くことができます。