(1)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ は半開区間 $(0,4]$ で連続なので

$\displaystyle \int_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}~dx = \lim_{\varepsilon \to+0} \int_{\varepsilon}^4\dfrac{1}{\sqrt{x}}~dx = \lim_{\varepsilon \to +0}\left[ 2\sqrt{x}\right]_{\varepsilon}^4 = \lim_{\varepsilon \to +0} (4-2\sqrt{\varepsilon}) =4 $

(2)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{16-x}}$ は半開区間 $[0,16)$ で連続なので

$ $$\begin{eqnarray*} \int_0^{16} \dfrac{1}{\sqrt{16-x}}~dx & = & \lim_{\varepsilon \to +0} \int_0^{16-\varepsilon} \dfrac{1}{\sqrt{16-x}}~dx\\[1em] & = & \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ -2\sqrt{16-x}\right]_0^{16-\varepsilon}\\[1em] & = & \lim_{\varepsilon \to +0} (-2\sqrt{\varepsilon} + 2\sqrt{16}) =8 \end{eqnarray*}$$ $

(3)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ は開区間 $(-3,3)$ で連続なので

$ $$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^3 \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}~dx &=& \lim_{\delta \to +0} \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{-3+\delta}^{3-\varepsilon} \cfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}\ dx \\[1em] &=& \lim_{\delta \to +0} \lim_{\varepsilon \to +0} \left[\sin^{-1} \cfrac{x}{3}\right]_{-3+\delta}^{3-\varepsilon} \\[1em] &=& \lim_{\delta \to +0} \lim_{\varepsilon \to +0} \left(\sin^{-1} \left( \cfrac{3-\varepsilon}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \cfrac{-3+\delta}{3} \right) \right) \\[1em] &=& \cfrac{\pi}{2} - \left( -\cfrac{\pi}{2} \right) = \pi \end{eqnarray*}$$ $

(1)
関数 $y = e^{-5x}$ は実数全体で連続なので

$ $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \cfrac{1}{e^{5x}} \ dx &=& \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} e^{-5x} \ dx \\[1em] &=& \lim_{b \to \infty } \left[-\dfrac{1}{5}e^{-5x} \right]_0^b \\[1em] &=& \lim_{b \to \infty } \left(-\cfrac{1}{5}e^{-5b} + \cfrac{1}{5}\right) = \cfrac{1}{5} \end{eqnarray*}$$ $

(2)
関数 $y = x^3e^{-x^4}$ は実数全体で連続なので

$ $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} x^3e^{-x^4} \ dx &=& \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} x^3e^{-x^4} \ dx \\[1em] &=& \lim_{b \to \infty } \left[-\dfrac{1}{4} e^{-x^4} \right]_0^b \\[1em] &=& \lim_{b \to \infty } \left(-\cfrac{1}{4} e^{-b^4} + \cfrac{1}{4}\right) = \cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$$ $