$Q1$.
次の $2$ 次方程式の解を求めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
判別式を調べることで, 次の方程式の実数解の数を答えなさい。
解答・解説を見る$2$ 次方程式 $ax^2 + bx +c=0$ に対し, $D = b^2 -4ac$ をこの方程式の判別式といいます。
(1)
判別式を調べると
$\begin{eqnarray*} D & = & (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot(-2) \\[0.5em] & = &49 + 16 = 65 \gt 0\end{eqnarray*}$
$D \gt 0$ より, この方程式は異なる $2$ つの実数解を持ちます。
(2)
$\begin{eqnarray*}D & = & 10^2 - 4\cdot 1 \cdot 25\\[0.5em] & = & 100 - 100 = 0\end{eqnarray*}$
$D =0$ より, この方程式は唯一つの重解を持ちます。
(3)
$\begin{eqnarray*} D & = & (-3)^2-4\cdot 3\cdot 10 \\[0.5em] & = & 9 - 120 = -111 \lt 0\end{eqnarray*}$
$D \lt 0$ よりこの方程式は実数解を持ちません。
$Q3$.
次の方程式が異なる $2$ つの実数解を持つような実数 $k$ の値の範囲を求めなさい。
解答・解説を見る判別式が $D \gt 0$ であればよいので
$D= 16 + 12k \gt 0$
整理すると $k \gt - \dfrac{4}{3}$ となります。
$Q4$.
次の方程式が唯一つの解を持つように実数 $k$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る判別式が $D=0$ となればよいので
$100 -16k=0$
整理すると $k = \dfrac{25}{4}$ となります。
$Q5$.
$2$ 次方程式 $4x^2 -5x-6=0$ の $2$ つの解をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とする時, 次の値を求めなさい。
解答・解説を見る与えられた式を, $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ だけを使って表すことを考えます。
(1)
解と係数の関係より
$\alpha + \beta = -\dfrac{-5}{4} = \dfrac{5}{4}$
(2)
解と係数の関係より
$\alpha \beta = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}$
(3)
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 -2\alpha \beta$ と変形します。
$\begin{eqnarray*} \alpha^2 + \beta^2 & = & (\alpha + \beta)^2 -2\alpha \beta\\[0.5em] & = & \left( \dfrac{5}{4} \right)^2 -2\cdot \left( -\dfrac{3}{2}\right)\\[1em] & = & \dfrac{25}{16} + 3 =\dfrac{73}{16} \end{eqnarray*}$
(4)
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 -3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ と変形します。
$\begin{eqnarray*} \alpha^3 + \beta^3 & = & (\alpha + \beta)^3 -3\alpha \beta (\alpha + \beta)\\[0.5em] & = & \left( \dfrac{5}{4} \right)^3 -3\cdot \left(-\dfrac{3}{2} \right)\cdot \dfrac{5}{4}\\[1em] & = & \dfrac{125}{64} + \dfrac{45}{8} = \dfrac{485}{64}\end{eqnarray*}$
(5) 展開すると
$\begin{eqnarray*} (\alpha +1)(\beta + 1) & = & \alpha \beta + \alpha + \beta + 1\\[0.5em] & = & \dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{2} + 1\\[0.5em] & = & \dfrac{5 - 6 + 4}{4} = \dfrac{3}{4}\end{eqnarray*}$
(6)
$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} & = & \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\\[1em] & = & \dfrac{~\dfrac{5}{4}~}{-\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{2}{3} = - \dfrac{5}{6}\end{eqnarray*}$
因数分解できそうであれば因数分解し, できなさそうであれば解の公式を使いましょう。
(1)
左辺を因数分解すると
$x^2 + 10x +24 = (x+4)(x+6)=0$
よって $x+4=0$ または $x+6=0$ より, $x = -4$, $-6$ となります。
(2)
左辺を因数分解すると
$x^2 -4x + 4 = (x-2)^2=0$
$x-2=0$ より $x=2$ となります。
(3)
$20x^2 -17x + 3 = (5x-3)(4x-1)=0$
$5x-3=0$ または $4x-1=0$ より, $x=\dfrac{3}{5}$ または $x=\dfrac{1}{4}$ となります。
(4)
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{ 5^2 - 4\cdot 2 \cdot (-4)}}{2\cdot 2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{57}}{4}$