(1)
$\log_a N = x \Longleftrightarrow a^x = N$ であるから

$\log_3 x = 2 \Longleftrightarrow 3^2 = x$

よって $x = 3^2 = 9$ となります。

(2)
$256 = 2^8$ より

$\log_x 256 = \log_x 2^8 = 8\log_x 2 = 8$

ここから $\log_x 2 = 1$ より $x=2$ となります。

(3)
$\log_2 (2x-4) = 5$ より

$2x-4 = 2^5 = 32$

$2x = 32 + 4 = 36$ より $x = 18$ となります。

(4)
真数条件より, $x \gt 0$ かつ $x-30 \gt 0$, すなわち $x \gt 30$ となります。

$\log_2 x + \log_2 (x-30) = \log_2 x(x-30)$

より

$\log_2 x(x-30) = 6$

$x(x-30) = 2^6 = 64$ となるので, 整理すると

$x^2 -30x -64 = (x - 32)(x + 2) = 0$

$x \gt 30$ であるから $x = 32$ となります。

(5)
真数条件より $7x \gt 0$ かつ $x-8 \gt 0$, すなわち $x \gt 8$ となります。

$\log_3 7x - \log_3 (x-8)= \log_3 \dfrac{7x}{x-8} = 2$

であるから

$\dfrac{7x}{x-8}= 3^2 = 9$

両辺に $x-8$ をかけて整理すると

$7x = 9(x-8) = 9x - 72$

$2x = 72$ より $x = 36$ となります。

(1)

真数条件より $x - 8 \gt 0$, すなわち $x \gt 8$ となります。

また, $1 = \log_5 5$ であるから不等式は

$\log_5 (x-8) \gt \log_5 5$

と表せます。ここで対数関数 $y = \log_5 x$ は単調増加関数なので

$\log_5 (x-8) \gt \log_5 5 \Longleftrightarrow x-8 \gt 5$

真数条件と合わせて, $x \gt 13$ が解となります。

(2)

真数条件より $7x -6 \gt 0$, すなわち $x \gt \dfrac{6}{7}$ となります。また

$-3 = \log_{0.5} 0.5^{-3} = \log_{0.5}\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3} = \log_{0.5} 2^3 = \log_{0.5} 8$

であるから, 不等式は

$\log_{0.5} (7x-6) \geqq \log_{0.5} 8$

と表せます。対数関数 $y = \log_{0.5} x$ は単調減少関数なので

$\log_{0.5} (7x-6) \geqq \log_{0.5} 8 \Longleftrightarrow 7x -6 \leqq 8$

よって $7x \leqq 8+6=14$ より $x \leqq 2$ となります。

真数条件と合わせて, $\dfrac{6}{7} \lt x \leqq 2$ が解となります。