$\log_a a=1$ と $\log_a M^r = r\log_a M$ を利用します

(1)

$\log_2 512 = \log_2 2^9 = 9\log_2 2 = 9$

(2)

$\log_3 \dfrac{1}{81} = \log_3 \dfrac{1}{3^4} = \log_3 3^{-4} = -4\log_3 3 = -4$

(3)

$\log_{0.1} \dfrac{1}{100} = \log_{0.1} 0.01 = \log_{0.1} 0.1^2 =2\log_{0.1} 0.1 = 2$

(4)

$\log_{\frac{1}{2}} 32 =\log_{\frac{1}{2}} 2^5= \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-5} = -5 \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2} = -5$

(1)
$\log_a M + \log_a N = \log_a MN$ であるから

$\log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 (3\cdot 12) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$

(2)

$\log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 16 = \log_{\frac{1}{8}} \left( 4\cdot 16 \right) = \log_{\frac{1}{8}} 64 = \log_{\frac{1}{8}} \left( \dfrac{1}{8}\right)^{-2} = -2$

(3)
$\log_a M - \log_a N = \log_a \dfrac{M}{N}$ であるから

$\log_2 320 - \log_2 20 = \log_2 \dfrac{320}{20} = \log_2 16 = 4$

(4)
底の変換公式によって底を $2$ に揃えます。

$(\log_4 25)\cdot (\log_5 8) = \dfrac{ \log_2 25}{\log_2 4} \cdot \dfrac{\log_2 8}{\log_2 5} = \dfrac{2\log_2 5}{2\log_2 2} \cdot \dfrac{3\log_2 2}{\log_2 5} = 3$

(5)
$a^{\log_a N} = N$ に注意すると

$4^{\log_2 10} = \left( 2^2 \right)^{\log_2 10} = 2^{2\log_2 10} = 2^{\log_2 100} = 100$