6. 指数の拡張 例題集

$Q1$.
次の数を指数を使わず表しなさい。

(1) $10^0$
(2) $2^{-4}$
(3) $(-4)^{-3}$
(4) $\left(\dfrac{1}{3} \right)^{-5}$
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(1) $1$
(2) $\dfrac{1}{16}$
(3) $-\dfrac{1}{64}$
(4) $243$

(1)
$a \not=0$ に対して, $a^0=1$ と定めます。よって $10^0=1$ です。

(2)
$a\not=0$ かつ正の整数 $n$ に対して, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ と定めます。よって

$2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$

(3)

$(-4)^{-3} = \dfrac{1}{(-4)^3} = \dfrac{1}{-64} = -\dfrac{1}{64}$

(4)

$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-5} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}= \dfrac{1}{~\dfrac{1}{3^5}~} = 3^5=243$

$Q2$.
次の式が成り立つように整数 $a$, $b$, $c$ の値を定めなさい。

(1) $\dfrac{1}{512} = 2^a$
(2) $\dfrac{1}{72} = 2^a\cdot 3^b$
(3) $\dfrac{18}{216} = 2^a\cdot 3^b$
(4) $\dfrac{49}{75} = 3^a\cdot 5^b\cdot 7^c$
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(1) $a = -9$
(2) $a = -3$, $b=-2$
(3) $a = -2$, $b=-1$
(4) $a = -1$, $b=-2$, $c=2$

(1)
$512 = 2^9$ より

$\dfrac{1}{512} = \dfrac{1}{2^9} = 2^{-9}$

(2)
$72 = 8\cdot 9 = 2^3\cdot 3^2$ より

$\dfrac{1}{72} = \dfrac{1}{2^3\cdot 3^2} = \dfrac{1}{2^3}\cdot \dfrac{1}{3^2} = 2^{-3}\cdot 3^{-2}$

(3)
約分すると

$\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{3} = 2^{-2}\cdot 3^{-1}$

(4)

$\dfrac{49}{75} = \dfrac{7^2}{3\cdot 5^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{5^2} \cdot 7^2= 3^{-1}\cdot 5^{-2}\cdot 7^2$

$Q3$.
次の式を計算しなさい。

(1) $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-8} \cdot 4^{-3}$
(2) $12^{-3}\cdot 6^3 \cdot \left( \dfrac{1}{2}\right)^{-7}$
(3) $\left( a^{-4}b^{-4} \right)^2 \left(a^2b^3\right)^{-3}$
(4) $\dfrac{\left(a^{-2}b^{-2} \right)^{-4}}{\left(a^4b^{-1}\right)^4}$
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(1) $4$
(2) $16$
(3) $a^{-14}b^{-17}$
(4) $a^{-8}b^{12}$

指数法則 $a^na^m=a^{n+m}$, $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ を利用します。

(1)

$(12)843=(21)8(22)3=2826=286=22=4$

(2)

$12363(12)7=(223)3(23)3(21)7=2633233327=26+3+733+3=2430=16$

(3)

$(a4b4)2(a2b3)3=(a4)2(b4)2(a2)3(b3)3=a8b8a6b9=a86b89=a14b17 $

(4)

$(a2b2)4(a4b1)4=(a2b2)4((a4b1)4)1=(a2)4(b2)4(a4b1)4=a8b8a16b4=a816b8+4=a8b12$

$Q4$.
次の式が成り立つように有理数 $a$, $b$ の値を定めなさい。

(1) $\sqrt[7]{16} = 2^a$
(2) $\sqrt[3]{18} = 2^a \cdot 3^b$
(3) $\sqrt[6]{72} = 2^a \cdot 3^b$
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(1) $a = \dfrac{4}{7}$
(2) $a = \dfrac{1}{3}$, $b=\dfrac{2}{3}$
(3) $a = \dfrac{1}{2}$, $b=\dfrac{1}{3}$

(1)
$a \gt 0$ かつ整数 $m(\not=0)$, $n$ に対し, $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$ と定めます。よって

$\sqrt[7]{16} = \sqrt[7]{2^4} = 2^{\frac{4}{7}}$

(2)
$18 = 2\cdot 9 = 2\cdot 3^2$ より

$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{2\cdot 3^2} = \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3^2} = 2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}$

(3)
$72 = 2^3\cdot 3^2$ であるから

$\sqrt[6]{72} =\sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = 2^{\frac{3}{6}}\cdot3^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}$

$Q5$.
次の式を計算しなさい。

(1) $\sqrt[3]{3}\sqrt[4]{27}$
(2) $\sqrt[6]{20}\sqrt{45}$
(3) $\dfrac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[6]{24}}$
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(1) $3\sqrt[12]{3}$
(2) $3\sqrt[3]{50}$
(3) $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{2}}$

(1)

$33427=33433=313334=313+34=31312=3123$

(2)

$62045=6225325=2265163512=2133516+12=332523=33252=3350$

(3)

$318624=3232(6233)1=213323236316=2131232316=216312=362$

$Q6$.
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ の時, 次の値を計算しなさい。ただし $x \gt 0$ とする。

(1) $x + x^{-1}$
(2) $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}}$
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(1) $18$
(2) $76$

(1)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ の両辺を $2$ 乗すると

$(x12x12)2=42(x12)22(x12)(x12)+(x12)2=16x2+x1=16$

よって $x + x^{-1} = 16+2 = 18$ となります。

(2)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ を $3$ 乗すると

$(x12x12)3=(x12)33(x12)2(x12)+3(x12)(x12)2(x12)3=x323x12+3x12x32=x32x323(x12x12)=x32x3234=x32x3212$

よって

$x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} -12 = \left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)^3 = 4^3 = 64$

より $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = 64 + 12 = 76$ となります。