(1)
$a \not=0$ に対して, $a^0=1$ と定めます。よって $10^0=1$ です。

(2)
$a\not=0$ かつ正の整数 $n$ に対して, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ と定めます。よって

$2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$

(3)

$(-4)^{-3} = \dfrac{1}{(-4)^3} = \dfrac{1}{-64} = -\dfrac{1}{64}$

(4)

$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-5} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}= \dfrac{1}{~\dfrac{1}{3^5}~} = 3^5=243$

(1)
$512 = 2^9$ より

$\dfrac{1}{512} = \dfrac{1}{2^9} = 2^{-9}$

(2)
$72 = 8\cdot 9 = 2^3\cdot 3^2$ より

$\dfrac{1}{72} = \dfrac{1}{2^3\cdot 3^2} = \dfrac{1}{2^3}\cdot \dfrac{1}{3^2} = 2^{-3}\cdot 3^{-2}$

(3)
約分すると

$\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{3} = 2^{-2}\cdot 3^{-1}$

(4)

$\dfrac{49}{75} = \dfrac{7^2}{3\cdot 5^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{5^2} \cdot 7^2= 3^{-1}\cdot 5^{-2}\cdot 7^2$

指数法則 $a^na^m=a^{n+m}$, $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ を利用します。

(1)

$\begin{eqnarray*}\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-8} \cdot 4^{-3} & = & \left(2^{-1}\right)^{-8}\cdot \left(2^2\right)^{-3}\\ & = & 2^8\cdot 2^{-6}=2^{8-6} = 2^2=4\end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} 12^{-3}\cdot 6^3 \cdot \left( \dfrac{1}{2}\right)^{-7} & = & \left(2^2\cdot 3\right)^{-3}\cdot \left(2\cdot 3\right)^3\cdot \left(2^{-1}\right)^{-7}\\[0.5em] & = & 2^{-6}\cdot 3^{-3}\cdot 2^3\cdot 3^3\cdot 2^7\\[0.5em] & = & 2^{-6+3+7}\cdot 3^{-3+3}\\[0.5em] & = & 2^4\cdot 3^0 = 16\end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*}\left( a^{-4}b^{-4} \right)^2 \left(a^2b^3\right)^{-3} & = & \left(a^{-4}\right)^2\left(b^{-4}\right)^2\left(a^2\right)^{-3}\left(b^3\right)^{-3}\\[0.5em] & = & a^{-8}b^{-8}a^{-6}b^{-9} \\[0.5em] & = & a^{-8-6}b^{-8-9} = a^{-14}b^{-17}\end{eqnarray*} $

(4)

$\begin{eqnarray*}\dfrac{\left(a^{-2}b^{-2} \right)^{-4}}{\left(a^4b^{-1}\right)^4} & = & \left(a^{-2}b^{-2} \right)^{-4} \left( \left(a^4b^{-1}\right)^4 \right)^{-1}\\[0.5em] & = & \left( a^{-2}\right)^{-4} \left( b^{-2}\right)^{-4} \left( a^4b^{-1}\right)^{-4}\\[0.5em] & = & a^8 b^8 a^{-16}b^4\\[0.5em] & = & a^{8-16}b^{8+4} = a^{-8}b^{12}\end{eqnarray*}$

(1)
$a \gt 0$ かつ整数 $m(\not=0)$, $n$ に対し, $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$ と定めます。よって

$\sqrt[7]{16} = \sqrt[7]{2^4} = 2^{\frac{4}{7}}$

(2)
$18 = 2\cdot 9 = 2\cdot 3^2$ より

$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{2\cdot 3^2} = \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3^2} = 2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}$

(3)
$72 = 2^3\cdot 3^2$ であるから

$\sqrt[6]{72} =\sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = 2^{\frac{3}{6}}\cdot3^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}$

(1)

$\begin{eqnarray*}\sqrt[3]{3}\sqrt[4]{27} & = & \sqrt[3]{3}\sqrt[4]{3^3}\\[0.5em] & = & 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{4}}\\[0.5em] & = & 3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{4} } = 3^{\frac{13}{12}}=3\sqrt[12]{3}\end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*}\sqrt[6]{20}\sqrt{45} & = & \sqrt[6]{2^2\cdot 5} \sqrt{3^2\cdot 5}\\[0.5em] & = & 2^{\frac{2}{6}}\cdot 5^{\frac{1}{6}}\cdot 3\cdot 5^{\frac{1}{2}}\\[0.5em] & = & 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{6}+ \frac{1}{2}}\\[0.5em] & = & 3\sqrt[3]{2}\cdot 5^{\frac{2}{3}}\\[0.5em] & = & 3\sqrt[3]{2\cdot 5^2} = 3\sqrt[3]{50}\end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*}\dfrac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[6]{24}} & = & \sqrt[3]{2\cdot 3^2} \cdot \left( \sqrt[6]{2^3\cdot 3} \right)^{-1}\\[0.5em] & = & 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{3}{6}} \cdot 3^{-\frac{1}{6}}\\[0.5em] & = & 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6} }\\[0.5em] & = & 2^{-\frac{1}{6}}\cdot 3^{\frac{1}{2}} =\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{2}} \end{eqnarray*}$

(1)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ の両辺を $2$ 乗すると

$\begin{eqnarray*} (x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}})^2 & = & 4^2\\[0.5em] \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^2 - 2\left( x^{\frac{1}{2}} \right)\left( x^{-\frac{1}{2}} \right)+\left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^2 & = & 16\\[0.5em] x - 2 + x^{-1} & = & 16\end{eqnarray*}$

よって $x + x^{-1} = 16+2 = 18$ となります。

(2)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ を $3$ 乗すると

$\begin{eqnarray*} \left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)^3 & = & \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^3 - 3\left( x^{\frac{1}{2}} \right)^2\left( x^{-\frac{1}{2}} \right) + 3\left( x^{\frac{1}{2}} \right)\left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^2 - \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^3\\[0.5em] & = & x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} \\[0.5em] & = & x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} -3\left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)\\[0.5em] & = & x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} - 3\cdot 4\\[0.5em] & = & x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} -12\end{eqnarray*}$

よって

$x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} -12 = \left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)^3 = 4^3 = 64$

より $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = 64 + 12 = 76$ となります。