$Q1$.
次の数を指数を使わず表しなさい。
$Q2$.
次の式が成り立つように整数 $a$, $b$, $c$ の値を定めなさい。
(1)
$512 = 2^9$ より
$\dfrac{1}{512} = \dfrac{1}{2^9} = 2^{-9}$
(2)
$72 = 8\cdot 9 = 2^3\cdot 3^2$ より
$\dfrac{1}{72} = \dfrac{1}{2^3\cdot 3^2} = \dfrac{1}{2^3}\cdot \dfrac{1}{3^2} = 2^{-3}\cdot 3^{-2}$
(3)
約分すると
$\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{3} = 2^{-2}\cdot 3^{-1}$
(4)
$\dfrac{49}{75} = \dfrac{7^2}{3\cdot 5^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{5^2} \cdot 7^2= 3^{-1}\cdot 5^{-2}\cdot 7^2$
$Q3$.
次の式を計算しなさい。
指数法則 $a^na^m=a^{n+m}$, $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ を利用します。
(1)
$(12)−8⋅4−3=(2−1)−8⋅(22)−3=28⋅2−6=28−6=22=4$
(2)
$12−3⋅63⋅(12)−7=(22⋅3)−3⋅(2⋅3)3⋅(2−1)−7=2−6⋅3−3⋅23⋅33⋅27=2−6+3+7⋅3−3+3=24⋅30=16$
(3)
$(a−4b−4)2(a2b3)−3=(a−4)2(b−4)2(a2)−3(b3)−3=a−8b−8a−6b−9=a−8−6b−8−9=a−14b−17 $
(4)
$(a−2b−2)−4(a4b−1)4=(a−2b−2)−4((a4b−1)4)−1=(a−2)−4(b−2)−4(a4b−1)−4=a8b8a−16b4=a8−16b8+4=a−8b12$
$Q4$.
次の式が成り立つように有理数 $a$, $b$ の値を定めなさい。
(1)
$a \gt 0$ かつ整数 $m(\not=0)$, $n$ に対し, $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$ と定めます。よって
$\sqrt[7]{16} = \sqrt[7]{2^4} = 2^{\frac{4}{7}}$
(2)
$18 = 2\cdot 9 = 2\cdot 3^2$ より
$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{2\cdot 3^2} = \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3^2} = 2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}$
(3)
$72 = 2^3\cdot 3^2$ であるから
$\sqrt[6]{72} =\sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = 2^{\frac{3}{6}}\cdot3^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}$
$Q5$.
次の式を計算しなさい。
(1)
$3√34√27=3√34√33=313⋅334=313+34=31312=312√3$
(2)
$6√20√45=6√22⋅5√32⋅5=226⋅516⋅3⋅512=213⋅3⋅516+12=33√2⋅523=33√2⋅52=33√50$
(3)
$3√186√24=3√2⋅32⋅(6√23⋅3)−1=213⋅323⋅2−36⋅3−16=213−12⋅323−16=2−16⋅312=√36√2$
$Q6$.
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ の時, 次の値を計算しなさい。ただし $x \gt 0$ とする。
(1)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ の両辺を $2$ 乗すると
$(x12−x−12)2=42(x12)2−2(x12)(x−12)+(x−12)2=16x−2+x−1=16$
よって $x + x^{-1} = 16+2 = 18$ となります。
(2)
$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 4$ を $3$ 乗すると
$(x12−x−12)3=(x12)3−3(x12)2(x−12)+3(x12)(x−12)2−(x−12)3=x32−3x12+3x−12−x−32=x32−x−32−3(x12−x−12)=x32−x−32−3⋅4=x32−x−32−12$
よって
$x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} -12 = \left( x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right)^3 = 4^3 = 64$
より $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = 64 + 12 = 76$ となります。
(1)
$a \not=0$ に対して, $a^0=1$ と定めます。よって $10^0=1$ です。
(2)
$a\not=0$ かつ正の整数 $n$ に対して, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ と定めます。よって
$2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$
(3)
$(-4)^{-3} = \dfrac{1}{(-4)^3} = \dfrac{1}{-64} = -\dfrac{1}{64}$
(4)
$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-5} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}= \dfrac{1}{~\dfrac{1}{3^5}~} = 3^5=243$