関数 $y = f(x)$ は

全ての $x$ で $f(-x) = -f(x)$ の時, 奇関数

全ての $x$ で $f(-x)=f(x)$ の時, 偶関数

といいます。

(1)
$f(x) = x$ とすると

$f(-x) = -x = -f(x)$

よって $y=x$ は奇関数です。

(2)
$f(x) = x^2$ とすると

$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$

よって $y=x^2$ は偶関数です。

(3)
$f(x) = x + x^3 + x^5$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} f(-x) & = & (-x) + (-x)^3 + (-x)^5\\[0.5em] & = & -x -x^3 - x^5\\[0.5em] & = & -(x + x^3 + x^5) = -f(x)\end{eqnarray*}$$ $

よって $y=x + x^3 +x^5$ は奇関数です。

(4)
$f(x) = 2$ とすると

$f(-x) = 2 = f(x)$

よって $y=2$ は偶関数です。

(5)
$f(x) = x^2 + 1$ とすると

$f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2+1 = f(x)$

よって $y=x^2 +1$ は偶関数です。

(6)
$f(x) = x^3 + 1$ とすると

$f(-1) = (-1)^3 + 1 = 0$

であり, また

$f(1) = 1+ 1=2$

であるから $f(-1) \not= \pm f(1)$, となるので $y= x^3+1$ は奇関数でも偶関数でもありません。

$(1)$ の右辺を平方完成すると

$ $$\begin{eqnarray*}y & = & x^2 + 4x + 2\\[0.5em] & = & (x+2)^2 -2\end{eqnarray*}$$ $

同様に $(2)$ の右辺も平方完成すると

$ $$\begin{eqnarray*}y & = & x^2 - 6x + 1\\[0.5em] & = & (x-3)^2 -8\end{eqnarray*}$$ $

よって $(1)$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動した曲線は

$y = ((x-5) +2)^2-2 -6 = (x-3)^2 -8$

となり, $(2)$ のグラフと一致することがわかります。