(1)
$b,~b'\not=0$ の時, $2$ 直線の傾きはそれぞれ $-\dfrac{a}{b}$ と $-\dfrac{a'}{b'}$ となります。

$2$ つの直線が平行である時, 傾きは等しいので

$-\dfrac{a}{b} = - \dfrac{a'}{b'}$

両辺に $-bb'$ をかければ $ab' = a'b$ となります。

また $b=0$ の時, $ax+by+c=0$ は $y$ 軸に平行な直線になるので, $a'x+ b'y+c'=0$ も $y$ 軸に平行になります。

よって $b'=0$ となり $ab'=a'b$ が成り立ちます。

逆に $ab' = a'b$ の時, $b=0$ ならば

$ab'=0$

となりますが, $a\not=0$ より $b'=0$ であることがわかり, $2$ つの直線は $y$ 軸に平行な直線になります。

$b,b'$ がともに $0$ でない時は, $ab'=a'b$ の両辺を $-bb'$ で割れば

$-\dfrac{a}{b} = -\dfrac{a'}{b'}$

となり $2$ つの直線は平行であることがわかります。

以上から $ab'=a'b$ の時, $2$ つの直線は平行になります。

(2)
$b,~b'\not=0$ の時, $2$ 直線の傾きはそれぞれ $-\dfrac{a}{b}$ と $-\dfrac{a'}{b'}$ となります。

$2$ つの直線が垂直である時, 傾きの積は $-1$ になるので

$\left( -\dfrac{a}{b}\right)\cdot \left( -\dfrac{a'}{b'} \right) = \dfrac{aa'}{bb'} = -1$

右側の等式の両辺に $bb'$ をかけて移項すれば $aa'+bb'=0$ となります。

また, $b=0$ の時, $ax+by+c=0$ は $y$ 軸に平行な直線になるので, $a'x+b'y+c'=0$ は $x$ 軸に平行になります。

よって $a'=0$ となり $aa'+bb'=0$ が成り立ちます。

同様に $b'=0$ の時は $a=0$ となり $aa'+bb'=0$ となります。

逆に $aa'+bb'=0$ の時, $b=0$ ならば

$aa' = 0$

となりますが, $a'\not=0$ より $a=0$ となって, $2$ つの直線が垂直になることがわかります。

$b,~b'$ がともに $0$ でない時は, $aa' + bb' = 0$ から $2$ 直線の傾きの積が $-1$ になるので, $2$ つの直線が垂直であることがわかります。

以上から, $aa' + bb' = 0$ の時, $2$ つの直線は垂直になります。

(1) 平行な直線

直線 $3x+4y-6=0$ と傾きが等しいので, 平行な直線の方程式は

$3x + 4y + c=0$

と置くことができます。

点 $(2,4)$ を通るので, 上の方程式に代入すると

$3\cdot 2 + 4\cdot 4 + c = 0$

よって $c = -6-16=-22$

以上から求める直線の方程式は $3x+4y-22=0$ となります。

(2) 垂直な直線

直線 $3x+4y-6=0$ の傾きは $-\dfrac{3}{4}$ であるから, 垂直な直線の傾きは $\dfrac{4}{3}$ となります。

このことから, 垂直な直線の方程式は

$4x - 3y + c = 0$

と置くことができます。

点 $(2,4)$ を通るので, 上の方程式に代入すると

$4\cdot 2 - 3\cdot 4 + c = 0$

よって $c = -8 + 12 = 4$

以上から求める直線の方程式は $4x - 3y + 4 = 0$ となります。

線分 ${\rm AB}$ の垂直二等分線とは, 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ の中点を通り, ${\rm AB}$ に垂直な直線になります。

点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ の中点の座標は

$\left( \dfrac{3+9}{2}, \dfrac{6+4}{2} \right) = \left( 6,5\right)$

また, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線の傾きは

$\dfrac{6-4}{3-9} = -\dfrac{1}{3}$

よって 線分 ${\rm AB}$ の垂直二等分線の傾きは $3$ になります。

傾きが $3$ で, 点 $(6,5)$ を通る直線の方程式は

$y = 3(x-6) +5 = 3x -13$

よって線分 ${\rm AB}$ の垂直二等分線の方程式は $y = 3x-13$ となります。

まず, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線 $l$ の方程式を求めましょう。

$l$ は直線 $5x+3y-6=0$ と垂直かつ直線 $5x+3y-6=0$ の傾きは $-\dfrac{5}{3}$ なので, $l$ の傾きは $\dfrac{3}{5}$ であることがわかります。

$l$ は点 ${\rm A}$ を通るので, その方程式は

$y = \dfrac{3}{5}(x + 8) + 4 = \dfrac{3}{5}x + \dfrac{44}{5}$

となります。

点 ${\rm B}$ の座標を $(x_0,y_0)$ とすると, ${\rm B}$ は $l$ 上の点なので

$y_0 = \dfrac{3}{5}x_0 + \dfrac{44}{5} \cdots (1)$

また, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ の中点は直線 $5x+3y-6=0$ 上にあるので

$ 5\cdot \dfrac{-8+x_0}{2} + 3\cdot \dfrac{4 + y_0}{2} -6=0$

整理すると $5x_0 + 3y_0 -40=0$ であり, これに $(1)$ を代入すると

$5x_0 + 3\left( \dfrac{3}{5}x_0 + \dfrac{44}{5} \right) -40=0$

両辺に $5$ をかけて整理すれば

$(25+9)x_0 = 200 - 132$

$34x_0 = 68$ より $x_0=2$, $(1)$ から $y_0 = 10$ であることがわかります。

よって点 ${\rm B}$ の座標は $(2,10)$ となります。