線形変換の性質例題集

$Q1$.
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ と線形変換 $f$ が次を満たす時, $-3\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}$ の $f$ による像を求めなさい。

$f(\overrightarrow{a}) =

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $

$f(\overrightarrow{b}) =

$\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ $

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$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $

線形変換 $f$ は実数 $k,l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し, 次の性質を持ちます。

$f(k\overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

この性質は一般に線形性と呼ばれます。

線形変換の性質を利用すると

$ $\begin{eqnarray*} f(-3\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}) & = & -3f(\overrightarrow{a}) -2f(\overrightarrow{b})\\[1em] & = & -3\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}1 \\ -4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3-2 \\ -6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $

$Q2$.
次の行列で表される線形変換について, 直線 $y=2x+3$ の像を求めなさい。

$A =

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ $

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$2x-5y+33=0$

直線 $y=2x+3$ 上の点の座標は $(x,2x+3)$ という形をしているので, この点の $A$ による像 $(x',y')$ を計算すると

$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x+6 \\ 2x+9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $

よって

$\left\{ $\begin{aligned} x' = 5x+6\\ y' = 2x+9 \end{aligned}$ \right.$

となることがわかります。$2$ つの式から $x$ を消去すると

$2x' -5y' = 12 - 45 = -33$

より $2x' -5y' + 33=0$ となり, これが像の方程式になります。

$Q3$.
次の行列で表される線形変換について, 直線 $y=10x+5$ の像が自分自身である時, $a$ と $b$ の値を求めなさい。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$ $

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$a=0$

$b=11$

直線 $y=10x+5$ の像を計算すると

$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ 10x+5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 11x+5 \\ (a+10b)x+5b \end{pmatrix}$ $

この点が再び直線 $y=10x+5$ 上にあるので, $x$ と $y$ に代入すると

$(a+10b)x+5b = 10(11x+5)+5$

左辺にまとめて整理すると

$(a+10b -110)x +(5b -55)=0$

これが全ての $x$ について成り立つので

$ $\begin{aligned} a+10b-110 & =0 ~~\cdots(1)\\ 5b-55 & =0 ~~\cdots(2) \end{aligned}$ $

$(2)$ より $b=11$ であり, これを $(1)$ に代入すると $a=0$ となります。

$Q4$.
$2$ 次正方行列 $A$ に対し, $f(\overrightarrow{x}) =A\overrightarrow{x}$ で定義される線形変換 $f$ は次の性質を持つことを確認しなさい。

$f(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y}) = kf(\overrightarrow{x}) + lf(\overrightarrow{y})~~$ ($k$, $l$ は実数)

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行列の計算において,

$A(B+C) = AB+AC$

と

$A(kB) = k(AB)~~~$ ($k$ は実数)

が成り立つことに注意すると

$ $\begin{eqnarray*}f(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y}) & = & A(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y})\\[1em] & = & A(k\overrightarrow{x}) + A(l\overrightarrow{y})\\[1em] & = & k(A\overrightarrow{x}) + l(A\overrightarrow{y}) \\[1em] & = & kf(\overrightarrow{x}) + lf(\overrightarrow{y}) \end{eqnarray*}$ $

よって $f$ は上の性質を持つことがわかる。

$Q5$.
平面上の変換 $f$ が次の性質を持つ時, ある $2$ 次正方行列 $A$ を用いて, $f(\overrightarrow{x}) =A\overrightarrow{x}$ と表せることを証明しなさい。

$f(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y}) = kf(\overrightarrow{x}) + lf(\overrightarrow{y})~~$ ($k$, $l$ は実数)

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$2$ つのベクトル $\overrightarrow{e_1} = $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $ と $\overrightarrow{e_2} = $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $ の $f$ による像を

$f(\overrightarrow{e_1}) = $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ ,~~~f(\overrightarrow{e_2}) = $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ $

とする。任意のベクトル $\overrightarrow{x} = $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $ に対し

$\overrightarrow{x} = $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ = x $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ + y $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ = x\overrightarrow{e_1} + y\overrightarrow{e_2}$

であるから, $f$ の性質を使うと

$ $\begin{eqnarray*}f(\overrightarrow{x}) & = & f(x\overrightarrow{e_1} + y\overrightarrow{e_2})\\[1em] & = & xf(\overrightarrow{e_1}) + yf(\overrightarrow{e_2})\\[1em] & = & x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $

よって $A = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $ と定めれば, 任意の $\overrightarrow{x}$ に対し

$f(\overrightarrow{x}) = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ \overrightarrow{x} = A\overrightarrow{x}$

が成り立つ。

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