拡大係数行列は

$\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 2 & 7 & -11 \end{pmatrix}$

となります。

$2$ 行目から, $1$ 行目の $2$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

方程式の形に直すと

$\left\{ \begin{eqnarray*} x + 3y =-4 \\y = -3 \end{eqnarray*}\right.$

よって第 $2$ 式から $y=-3$ であり, 第 $1$ 式に代入すれば $x= -4+9=5$ となります。

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 14 \\ 2 & 3 & 4 & 20 \\ 2 & 2 & 3 & 15 \end{pmatrix}$

となります。

$2$ 行目と $3$ 行目から, $1$ 行目の $2$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 14 \\ 0 & -1 & -2 & -8 \\ 0 & -2 & -3 & -13 \end{pmatrix}$

$3$ 行目から, $2$ 行目の $2$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 14 \\ 0 & -1 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

方程式の形に直すと

$\left\{ \begin{aligned}x+2y+3z &= 14 \\ -y-2z &= -8\\ z&=3\end{aligned}\right.$

第 $3$ 式から $z=3$ であり, 第 $2$ 式に代入すれば $y = -6+8=2$ となることがわかります。

さらにそれらを第 $1$ 式に代入すれば $x = 14 - 4-9=1$ となります。

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 & -2 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

となります。

$3$ 行目から $1$ 行目の $2$ 倍を引き, $2$ 行目に $1$ 行目を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

$3$ 行目に $2$ 行目の $3$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

方程式の形に直すと

$\left\{ \begin{aligned}x-2y-5z &= -2 \\ -y-2z &= -1\end{aligned}\right.$

第 $2$ 式から $y=1-2z$ であり, これを第 $1$ 式に代入すると

$x = -2 + 2(1-2z) + 5z = z$

$z$ は任意なので, この方程式の解は $t$ を任意の数として

$\begin{cases}x = t \\ y =1 -2t \\ z = t \end{cases}$

となります。

この例題から分かるように, 行基本変形はある行列を左からかける操作に対応します。

また $P,Q,R$ のような, 行基本変形に対応する行列を 基本行列 といいます。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ とする。

(1)
$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ として $PA$ を計算すると

$PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ca_{21} & ca_{22} & ca_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

となり, これは $A$ の $2$ 行目を $c$ 倍した行列になります。

(2)
$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ として $QA$ を計算すると

$\begin{eqnarray*}QA & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + ca_{31} & a_{22} +ca_{32} & a_{23} + ca_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

となり, これは $A$ の $2$ 行目に $3$ 行目の $c$ 倍を加えた行列になります。

(3)
$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ として $RA$ を計算すると

$RA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix}$

となり, これは $A$ の $1$ 行目と $3$ 行目を入れ換えた行列になります。

※

$3$ 次の場合も同様に, 行基本変形は基本行列を左からかける操作に対応します。

「$3$ 行目に $1$ 行目の $c$ 倍を加える」や「$2$ 行目と $3$ 行目を入れ換える」等, 他の行基本変形に対応する基本行列も求めてみましょう。