$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -5, -5, 0)$, $\overrightarrow{b} = (-1, -2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $x$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( 2,-2,1 \right)$
$\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},~-\dfrac{2}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~-\dfrac{1}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = -5x - 5y + 0 =0$
より $y = -x$ である。また
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = -x - 2y - 2z =0$
であり $y = -x$ を代入すると $x = 2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( 2z, -2z , z) = z(2, -2, 1)$
ここで
$|(2,-2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$x$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -5, -3, -4)$, $\overrightarrow{b} = (1, 2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $x$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},~\dfrac{2}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},~\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} -5x - 3y - 4z &=0 \\[1em] x + 2y - 2z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(-5x - 3y - 4z) - 2(x + 2y -2z ) = -7x -7y = 0$
よって $y = -x$ であり, これを $2$ つ目の式に代入すると
$x - 2x -2z = -x -2z =0$
より $x = -2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( -2z, 2z , z) = z(-2, 2, 1)$
ここで
$|(-2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$x$ 成分が負であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -3, 1, 4)$, $\overrightarrow{b} = (-1, 0, 4)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $y$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{1}{2},~1,~\dfrac{1}{8} \right)$
$\left( -\dfrac{1}{2},~1,-\dfrac{1}{8} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} -3x + y + 4z &=0 \\[1em] -x + 4z &=0 \end{aligned} \right.$
である。 $x = 4z$ であるから, $1$ つ目の式に代入すると
$-12z + y + 4z =0$
よって $y = 8z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = (4z, 8z , z) = z(4, 8, 1)$
ここで
$|(4,8,1)| = \sqrt{16+64+1} = 9$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり,
$y$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 4, -5, -2)$, $\overrightarrow{b} = (1, -2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $y$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3} \right)$
$\left( \dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} 4x - 5y - 2z &=0 \\[1em] x - 2y - 2z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(4x - 5y - 2z) - (x - 2y -2z ) = 3x -3y = 0$
よって $y = x$ であり, これを $2$ つ目の式に代入すると
$x - 2x -2z = -x -2z =0$
より $x = -2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( -2z, -2z , z) = z(-2, -2, 1)$
ここで
$|(-2,-2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$y$ 成分が負であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, 2, 0)$, $\overrightarrow{b} = (-1, -3, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{9},\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x + 2y &=0 \\[1em] -x - 3y - 4z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから $x = -2y$ を $2$ つ目の式に代入すると
$-y-4z=0$
よって $y = -4z$ より
$\overrightarrow{e} = ( 8z, -4z , z) = z(8, -4, 1)$
ここで
$|(8,-4,1)| = \sqrt{64+16+1} = 81$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり,
$z$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, -5, 8)$, $\overrightarrow{b} = (-7, 3, 8)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},-\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x - 5y + 8z &=0 \\[1em] -7x + 3y + 8z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(x - 5y + 8z) - (-7x + 3y + 8z ) = 8x -8y = 0$
よって $y = x$ であり, これを $1$ つ目の式に代入すると
$x - 5x + 8z = -4x + 8z =0$
より $x = 2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( 2z, 2z , z) = z(2, 2, 1)$
ここで
$|(2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$z$ 成分が負であることから $z = -\dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$