$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (-4,-2,2)$, $\overrightarrow{b} = (-3,-4,5)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 12+ 8+10}{\sqrt{24}\sqrt{50}} = \dfrac{30}{20\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である。
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2,1,-2)$, $\overrightarrow{b} = (4,-3,-5)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 8 - 3 + 10}{\sqrt{9}\sqrt{50}} = \dfrac{15}{15\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (4,2,6)$, $\overrightarrow{b} = (3,-2,1)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$0$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 12 - 4 + 6}{\sqrt{56}\sqrt{14}} = \dfrac{14}{28} = \dfrac{1}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である。
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (4,-3,3)$, $\overrightarrow{b} = (3,1,-3)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 12 - 3 - 9}{\sqrt{34}\sqrt{19}} = 0$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ である。
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (4,2,2)$, $\overrightarrow{b} = (-2,2,-4)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ -8 + 4 - 8}{\sqrt{24}\sqrt{24}} = \dfrac{-12}{24} = -\dfrac{1}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{2}{3}\pi$ である。
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (1,4,-1)$, $\overrightarrow{b} = (2,-4,4)$ のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
が成り立つ。よって
$\cos \theta = \dfrac{ 2 - 16 - 4}{\sqrt{18}\sqrt{36}} = \dfrac{-18}{18\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0\leqq \theta \leqq \pi$ であるから $\theta = \dfrac{3}{4}\pi$ である。