4. 2重積分のいろいろな応用 例題集

$Q1$.
次の曲面の, 領域 $D$ に対応する部分の面積 $S$ を求めなさい。

$\displaystyle z = x^{\frac{3}{2}}~~D:0\leqq x \leqq 5,~0\leqq y \leqq 1$
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$\dfrac{335}{27}$

$xyz$ 空間内の曲面 $z = f(x,y)$ の, $xy$ 平面内の領域 $D$ に対応する部分の面積 $S$ は

$S = \displaystyle \iint_D \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}~dxdy = \iint_D \sqrt{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1}~dxdy$

で計算することができます。

$z = x^{\frac{3}{2}}$ であるから

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$

よって求める面積 $S$ は

$S=1050(32x12)2+02+1 dxdy=10509x+44 dxdy=1250{109x+4 dy} dx=12509x+4 dx$

$9x+4 = t$ と置くと, $dx = \dfrac{1}{9}~dt$ より

$\displaystyle \int_0^5 \sqrt{9x+4}~dx = \int_4^{49} \dfrac{\sqrt{t}}{9}~dt = \dfrac{1}{9}\left[ \dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_4^{49} = \dfrac{670}{27}$

よって

$\displaystyle S = \dfrac{1}{2}\int_0^5 \sqrt{9x+4}~dx = \dfrac{335}{27}$

$Q2$.
次の曲面の, 領域 $D$ に対応する部分の面積 $S$ を求めなさい。

$\displaystyle z = 1-x^2-y^2~~D: x^2+y^2 \leqq 1$
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$\dfrac{(5\sqrt{5}-1)\pi}{6}$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -2x,~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = -2y$

であるから, 面積 $S$ は

$\displaystyle S = \iint_D \sqrt{(-2x)^2+ (-2y)^2+1}~xdy = \iint_D\sqrt{4(x^2+y^2)+1}~dxdy$

$x = r\cos \theta,~~y=r\sin \theta$ と置くと

$S=D4(x2+y2)+1 dxdy=2π010r4r2+1 drdθ=2π0[112(4r2+1)32]10 dθ=2π(5321)12=(551)π6$

$Q3$.
曲線 $y = \sqrt{x}$ と, 直線 $x=1$, $x$ 軸で囲まれた図形の重心の座標を求めなさい。

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$\left( \dfrac{3}{5},~\dfrac{3}{8}\right)$

$xy$ 平面内の図形 $D$ に対し

$\displaystyle (\bar{x},\bar{y}) = \left( \dfrac{\displaystyle \iint_D x~dxdy}{\displaystyle \iint_D ~dxdy}, \dfrac{\displaystyle \iint_D y~dxdy}{\displaystyle \iint_D ~dxdy} \right)$

を $D$ の重心といいます。

与えられた図形を $D$ とすると

$D:0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq \sqrt{x}$

と表すことができます。すると

$\displaystyle{\iint_D \ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} \ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx=\left[\cfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\cfrac{2}{3}}$

であり, また

$\displaystyle{\iint_D x\ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} x\ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} dx= \left[\cfrac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \right]_0^1=\cfrac{2}{5}}$

$\displaystyle{\iint_D y\ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} y\ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} \cfrac{1}{2} x\ dx=\left[\cfrac{1}{4}\,x^2\right]_0^1=\cfrac{1}{4}}$

となるので各座標は

$\displaystyle \bar{x} =\cfrac{\displaystyle{\iint_D x\ dx dy}}{\displaystyle{\iint_D \ dx dy}} = \dfrac{3}{5}$

$\displaystyle \bar{y} =\cfrac{\displaystyle{\iint_D y\ dx dy}}{\displaystyle{\iint_D \ dx dy}} = \dfrac{3}{8}$

よって重心の座標は $\left( \dfrac{3}{5},~\dfrac{3}{8}\right)$ となります。