$x$ で偏微分する時, $y$ は定数として扱うので

$f_x(x,y) = 0 + 7y + 21x^6 = 21x^6 + 7y$

また, $y$ で偏微分する時は $x$ は定数として扱うので

$f_y(x,y) = 88y^7 + 7x + 0 = 88y^7 + 7x$

となります。

$f(x,y) = \left( xy^5 + 5x^5y\right)^{\frac{1}{2}}$ であるから

$f_x(x,y) = \dfrac{1}{2}\cdot \left( xy^5 + 5x^5y\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (y^5 + 25x^4y) = \dfrac{y^5+25x^4y}{2\sqrt{xy^5 + 5x^5y}}$

また

$f_y(x,y) = \dfrac{1}{2}\cdot \left( xy^5 + 5x^5y\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (5xy^4 + 5x^5) = \dfrac{5xy^4 + 5x^5}{2\sqrt{xy^5 + 5x^5y}}$

となります。

$x$ についての偏導関数を求めると

$f_x(x,y) = \dfrac{88x^{10}\cdot 5xy - (8x^{11} + 4y^9)\cdot 5y}{25x^2y^2} = \dfrac{80x^{11}-4y^9}{5x^2y}$

これに $(1,1)$ を代入すると

$f_x(1,1) = \dfrac{80 - 4}{5} = \dfrac{76}{5}$

同様に $y$ についての偏導関数を求めると

$f_y(x,y) = \dfrac{36y^8\cdot 5xy - (8x^{11} + 4y^9)\cdot 5x}{25x^2y^2} = \dfrac{-8x^{11} + 32y^9}{5xy^2}$

これに $(1,1)$ を代入すると

$f_y(1,1) = \dfrac{-8+32}{5} = \dfrac{24}{5}$

となります。