I. 2変数関数を微分しよう
要点まとめ
- $2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ について, $y=b$ に固定すると関数 $z = f(x,b)$ は $x$ に関する $1$ 変数関数である。
- $1$ 変数関数 $z = f(x,b)$ の $x=a$ における微分係数を, $2$ 変数関数 $z=f(x,y)$ の, 点 $(a,b)$ における $x$ についての 偏微分係数 といい, $f_x(a,b)$ と表す。
$\displaystyle f_x(a,b) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}$
- 点 $(a,b)$ における $x$ の偏微分係数が存在する時, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で $x$ について 偏微分可能 であるという。
- 点 $(a,b)$ における $y$ についての偏微分係数も同様に定義される。
$\displaystyle f_y(a,b) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a,b+h) - f(a,b)}{h}$
- $x$ と $y$ 両方についての偏微分係数が存在する時, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 偏微分可能 であるという。
- $xy$ 平面内の領域 $D$ 内の全ての点 $(a,b)$ で偏微分可能である時, $f(x,y)$ は領域 $D$ で偏微分可能であるという。
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