I. 関数を級数の形で表そう
要点まとめ
- 数列 $\{a_n\}$ と変数 $x$ からなる級数
$\displaystyle a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
を $x$ の べき級数という。 - べき級数は $x$ の値によって収束・発散が決まる。
- $0$ を含む区間で何回でも微分可能な関数 $f(x)$ の $n$ 次の近似式を $P_n(x)$ としたとき, $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left\{ f(x) - P_n(x) \right\} =0$ であるならば, 次が成り立つ。
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots$
- 上の式の右辺を, 関数 $f(x)$ の マクローリン展開 という。
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