$Q1$.
次の関数をマクローリン展開しなさい。
$Q2$.
次の関数をマクローリン展開しなさい。
$f(x) = (1-2x)^{-1}$ であるから
$f'(x) = 2(1-2x)^{-2}$, $~~f''(x) = 2\cdot 2^2(1-2x)^{-3}$
$f^{(3)}(x) = 3!\cdot 2^3(1-2x)^{-4}$, $~~\cdots$
より
$f^{(n)}(x) = n!\cdot 2^n(1-2x)^{-(n+1)}$
が成り立ちます。
$f^{(n)}(0) = n!\cdot 2^n$
であるから
$f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots+2^n x^n+\cdots$
となります。
$f(x)$ と右辺の第 $n$ 部分和の差の極限を考えると
$limn→∞(f(x)−n∑k=1(2x)k−1)=limn→∞(11−2x−1−(2x)n1−2x)=limn→∞(2x)n1−2x$
これは $\left| 2x\right| \lt 1$ の時, すなわち $|x| \lt \dfrac{1}{2}$ の時に $0$ に収束します。
よって $\dfrac{1}{1-2x}$ のマクローリン展開は
$\dfrac{1}{1-2x} = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots+2^n x^n+\cdots~~\left(|x| \lt \dfrac{1}{2} \right)$
となります。
[補足]
これは $\dfrac{1}{1-x}$ のマクローリン展開
$\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots+ x^n+\cdots~~\left(|x| \lt 1 \right)$
の $x$ に $2x$ を代入した形になっています。
$Q3$.
次の関数をマクローリン展開しなさい。ただし, マクローリン展開が成り立つ $x$ の範囲は求めなくてよい。
$f(x) = \sin x$ とすると
$f'(x)=\cos x$, $~~f''(x)=-\sin x$, $~~f^{(3)}(x)=-\cos x$, $~~f^{(4)}(x) = \sin x$
であるから
$f^{(4n)}(0)= f^{(4n+2)}(0) = 0$
また
$f^{(4n+1)}(0) = \cos 0 =1$, $~~f^{(4n+3)}(0) = -\cos 0 =-1$
が成り立ちます。
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots$
であるから, 代入すると
$\sin x = x - \cfrac{1}{3!} x^3 + \cfrac{1}{5!} x^5 - \cfrac{1}{7!} x^7 + \cdots + \cfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + \cdots$
となります。
[補足]
$\sin x$ のマクローリン展開は全ての $x$ で成り立つことが知られています。
$Q4$.
次の関数をマクローリン展開しなさい。ただし, マクローリン展開が成り立つ $x$ の範囲は求めなくてよい。
$f(x) = \cos x$ とすると
$f'(x)=-\sin x$, $~~f''(x)=-\cos x$, $~~f^{(3)}(x)=\sin x$, $~~f^{(4)}(x) = \cos x$
であるから
$f^{(4n+1)}(0)= f^{(4n+3)}(0) = 0$
また
$f^{(4n)}(0) = \cos 0 =1$, $~~f^{(4n+2)}(0) = -\cos 0 =-1$
が成り立ちます。よって
$\cos x = 1 - \cfrac{1}{2} x^2 + \cfrac{1}{4!} x^4 - \cfrac{1}{6!} x^6 + \cdots + \cfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \cdots$
となります。
[補足]
$\cos x$ のマクローリン展開は全ての $x$ で成り立つことが知られています。
$Q5$.
次の関数をマクローリン展開しなさい。ただし, マクローリン展開が成り立つ $x$ の範囲は求めなくてよい。
$f(x) = e^x$ とすると
$f^{(n)}(x)=e^x$
であるから
$f^{(n)}(0)= 1$
が成り立ちます。よって
$e^x = 1 + x + \cfrac{1}{2} x^2 + \cfrac{1}{3!} x^3 + \cdots + \cfrac{1}{n!}x^n + \cdots$
となります。
[補足]
$e^x$ のマクローリン展開は全ての $x$ で成り立つことが知られています。
$0$ を含む区間で何回でも微分可能である関数 $f(x)$ を
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots$
とべき級数の形で表すことをマクローリン展開するといいます。
マクローリン展開は, その等式が成り立つような $x$ の範囲に注意する必要があります。
$f(x) = (x+4)^{-1}$ であるから
$f'(x) = -(x+4)^{-2}$, $~~f''(x) = 2(x+4)^{-3}$, $~~f^{(3)}(x) = -6(x+4)^{-4}$, $~~\cdots$
より
$f^{(n)}(x) = (-1)^n n!(x+4)^{-(n+1)}$
が成り立ちます。
$f^{(n)}(0) = \dfrac{(-1)^n n!}{4^{n+1}}$
であるから, $f(x)$ のマクローリン展開は
$f(x) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{1}{64}x^2 + \cdots + \dfrac{(-1)^n}{4^{n+1}}x^n + \cdots$
となります。
次に上の式が成り立つ $x$ の範囲を求めます。$f(x)$ と右辺の第 $n$ 部分和の差の極限を考えると
$limn→∞(f(x)−n∑k=1(−x)k−14k)=limn→∞(1x+4−(1−(−x4)n)x+4)=limn→∞(1x+4⋅(−x4)n)$
これは $\left| -\dfrac{x}{4}\right| \lt 1$ の時, すなわち $|x| \lt 4$ の時に $0$ に収束します。
よって $\dfrac{1}{x+4}$ のマクローリン展開は
$\dfrac{1}{x+4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{1}{64}x^2 + \cdots + \dfrac{(-1)^n}{4^{n+1}}x^n + \cdots~~(|x| \lt 4)$
となります。