無限級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

に対し, 初項から第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を

$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

とした時, $S_n$ が収束するならば級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束するといいます。

(1)

$\dfrac{1}{4n^2-1} = \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right)$

であるから, 第 $n$ 部分和を $S_n$ とすると

$\begin{eqnarray*}S_n & = & \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{35} + \cdots + \dfrac{1}{4n^2-1}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\left\{ \left( 1- \dfrac{1}{3}\right) + \left( \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{5}\right) + \left( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} \right)\cdots + \left( \dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}\right) \right\} \\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\left( 1- \dfrac{1}{2n+1}\right) \end{eqnarray*}$

よって

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{4n^2-1} = \lim_{n\to \infty}S_n = \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{2}\left( 1- \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{1}{2}$

(2)
一般に 数列 $\{a_n\}$ に対し

級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば, $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = 0$

が成り立ちます。

$a_n = \dfrac{2n-1}{2n+1}$ とすると

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \dfrac{2 - \dfrac{1}{n}}{2 + \dfrac{1}{n}} = 1 \not=0$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n \not=0$ より, 級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n-1}{2n+1}$ は発散します。

(3)
$a_n = \sin \dfrac{n\pi}{4}$ とすると

$a_{8n} = \sin 2n\pi = 0$

であり, また

$a_{8n+2} = \sin \left(2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = 1$

であるから, この数列は収束しない（振動する）ことがわかります。

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n \not=0$ より, 級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac{n\pi}{4}$ は発散します。

等比級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots$

は $|r|\lt 1$ の時のみ収束し, その和は

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \dfrac{a}{1-r}$

となります。

(1)
$a_n = \dfrac{1}{10^n}$ とすると, これは初項 $\dfrac{1}{10}$, 公比 $\dfrac{1}{10}$ の等比数列であるから, 級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{10^n}$

は収束し, その和は

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{ \dfrac{1}{10} }{1- \dfrac{1}{10}}= \dfrac{ ~\dfrac{1}{10}~ }{\dfrac{9}{10}} = \dfrac{1}{9}$

となります。

(2)
$a_n = \dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$ とすると, これは初項 $\dfrac{1}{2}$, 公比 $\dfrac{4}{3}$ の等比数列であり

$1 \lt \dfrac{4}{3}$

であるから, 等比級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$ は発散します。

(3)
$a_n = \left( -\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ とすると, これは初項 $1$, 公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから, 級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

は収束し, その和は

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} = \dfrac{ 1 }{1- \left( -\dfrac{1}{3} \right)}= \dfrac{ ~1~ }{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{3}{4}$

となります。

(1)

$\begin{eqnarray*} 0.\dot{1} &=& 0.1111111 \cdots \\[0.5em] &=& 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + \cdots \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots \end{eqnarray*}$

であるから, これは初項 $\dfrac{1}{10}$, 公比 $\dfrac{1}{10}$ の等比級数になります。よってその和は

$\displaystyle 0.\dot{1} = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{ \dfrac{1}{10} }{1- \dfrac{1}{10} } = \dfrac{1}{9}$

(2)

$\begin{eqnarray*} 2.\dot{4}\dot{5} &=& 2.45454545 \cdots \\[0.5em] &=& 2 + 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + 0.00000045 + \cdots \\[0.5em] &=& 2 + \dfrac{45}{100} + \dfrac{45}{100^2} + \dfrac{45}{100^3} + \cdots \end{eqnarray*}$

であり, 第 $2$ 項以降は初項 $\dfrac{45}{100}$, 公比 $\dfrac{1}{100}$ の等比級数になります。よってその和は

$\displaystyle 2.\dot{4}\dot{5} =2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{45}{100}\cdot \dfrac{1}{100^{n-1}} \right) = 2 + \dfrac{ \dfrac{45}{100} }{1- \dfrac{1}{100} } = 2 + \dfrac{5}{11} = \dfrac{27}{11}$

(3)

$\begin{eqnarray} 1.2\dot{3}\dot{4} &=& 1.234343434 \cdots \\[0.5em] &=& 1.2 + 0.034 + 0.00034 + 0.0000034 + \cdots \\[0.5em] &=& \dfrac{6}{5} + \dfrac{34}{1000} + \dfrac{34}{1000}\cdot\dfrac{1}{100} + \dfrac{34}{1000}\cdot\dfrac{1}{100^2} + \cdots \end{eqnarray}$

であり, 第 $2$ 項以降は初項 $\dfrac{34}{1000}$, 公比 $\dfrac{1}{100}$ の等比級数になります。よってその和は

$\displaystyle 1.2\dot{3}\dot{4} = \dfrac{6}{5} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{34}{1000}\cdot \dfrac{1}{100^{n-1}} \right) = \dfrac{6}{5} + \dfrac{ \dfrac{34}{1000} }{1- \dfrac{1}{100} } = \dfrac{6}{5} + \dfrac{34}{990} = \dfrac{611}{495}$

この例題から

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束するならば $\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n=0$ である

の逆の命題

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n=0$ ならば $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は収束する

は一般に成り立たないことがわかります。