I. 級数って何?
要点まとめ
- 数列 $\{a_n\}$ の各項を (形式的に) 全て足し合わせたものを 級数 といい, 次のように表す。
$\displaystyle a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}a_n$
- 初項から第 $n$ 項までの和を (第 $n$) 部分和 という。
- 第 $n$ 部分和 $S_n$ の極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$ が収束する時, 級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は 収束する という。
- この時, この極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$ を級数の和と定める。
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to \infty}S_n$
- $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n \not= 0$ ならば, 級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は発散する。
- 上の逆は成り立たない。
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