$Q1$.
次の関数が $x=0$ で連続となるように $k$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
方程式 $\cos x = 2x-\dfrac{1}{2}$ は $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ の間に少なくとも $1$ つ実数解が存在することを証明しなさい。
解答・解説を見る$f(x) = \cos x - \left(2x-\dfrac{1}{2} \right)$ とすると $f(x)$ は連続である。また
$f(0)= 1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \gt 0$
であり
$f\left( \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \left( \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{2} + 1 - \pi}{2}$
であるが $\sqrt{2} \lt 2$ かつ $3 \lt \pi$ であるから
$\sqrt{2}+1 - \pi \lt 0$
よって $f\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \lt 0$ である。
中間値の定理より $f(k) = 0~~\left(0 \lt k \lt \dfrac{\pi}{4} \right)$ を満たす $k$ が少なくとも $1$ つ存在する。
この $k$ に対し $\cos k =2k - \dfrac{1}{2}$ が成り立つので, この方程式は $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ の間に少なくとも $1$ つ実数解が存在する。
$Q3$.
関数 $f(x)$ が $x=a$ において微分可能である時, $f(x)$ は $x=a$ で連続であることを証明しなさい。
解答・解説を見る$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ を示せばよい。
$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることから
$\displaystyle f'(a) = \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
が存在することに注意すると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x) - f(a) & = & \lim_{x\to a}\left( f(x) - f(a) \right)\\[1em] & = & \lim_{x\to a}\left( \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}\cdot (x-a) \right)\\[1em] & = & \lim_{x\to a}\left( \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} \right) \cdot \lim_{x\to a}(x-a)\\[1em] & = & f'(a)\cdot 0 =0 \end{eqnarray*}$
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) - f(a)=0$ より $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ である。
よって関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能ならば, $x=a$ で連続である。
関数 $f(x)$ が $x=a$ で定義されており, かつ
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = f(a)$
が成り立つ時, $f(x)$ は $x=a$ で連続であるといいます。
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{2x} = \dfrac{3}{2}\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} = \dfrac{3}{2}\cdot 1 = \dfrac{3}{2}$
であるから $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) = \dfrac{3}{2}$ となります。
よって $f(x)$ が $x=0$ で連続である時
$\displaystyle k = f(0) = \lim_{x\to 0}f(x) = \dfrac{3}{2}$
より $k=\dfrac{3}{2}$ となります。