(1)
$f(x)$ の定義から $x=0$ の時, $f(x)=0$ なので $f(0)=0$ です。

(2)
$x$ が $0$ の右側から近づく時, $x \gt 0$ なので $|x|=x$ となります。よって

$f(x) = \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{x} = 1$

よって $\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to +0}1 = 1$

となります。

(3)
$x$ が $0$ の左から近づく時, $x \lt 0$ なので $|x| = -x$ となります。よって

$f(x) = \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{-x}{x} = -1$

よって $\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to +0}(-1) = -1$

となります。

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

(1)
$x' = 10x$ とすると

$x \to 0$ の時 $x'\to 0$

であるから

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 10x}{x} = \lim_{x \to 0} 10 \cdot \dfrac{\sin 10x}{10x} = 10 \lim_{x' \to 0} \dfrac{\sin x'}{x'} = 10 \cdot 1 = 10$

(2)
$x_1 = 3x$, $x_2 = 12x$ とすると

$x \to 0$ の時 $x_1,x_2 \to 0$

また, $x\to 0$ より $x \not=0$ なので, 分子と分母を $x$ で割れば

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 12x}{\sin 3x} & = & \lim_{x \to 0} \dfrac{ \dfrac{\sin 12x}{x} }{ \dfrac{\sin 3x}{x} }\\[1em] & = & \dfrac{\displaystyle 12 \lim_{x \to 0}\dfrac{ \sin 12x}{12x} }{\displaystyle 3 \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} } & = & \dfrac{\displaystyle 12 \lim_{x_2 \to 0}\dfrac{ \sin x_2}{x_2} }{\displaystyle 3 \lim_{x_1\to 0} \dfrac{\sin x_1}{x_1} } & = & \dfrac{12 \cdot 1}{3\cdot 1} = 4 \end{eqnarray*}$

(3)
$x' = 3x$ とすると

$x \to 0$ の時, $x' \to 0$

であるから, $\displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x =1$ に注意すると

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 3x}{x} & = & 3 \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan 3x}{3x} \\[1em] & = & 3 \lim_{x\to 0} \left( \dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot \dfrac{1}{\cos 3x}\right)\\[1em] & = & 3 \left( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} \right)\cdot \left( \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{\cos 3x} \right)\\[1em] & = & 3 \left( \lim_{x'\to 0} \dfrac{\sin x'}{x'} \right)\cdot \left( \lim_{x'\to 0} \dfrac{1}{\cos x'} \right)\\[1em] & = & 3\cdot 1 \cdot 1 = 3 \end{eqnarray*}$

(4) 三角関数の相互関係を利用しましょう。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{4(1-\cos x)}{\tan^2 x} &=& \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{4\cos^2 x(1-\cos x)}{\sin^2 x}\\[1em] &=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{4\cos^2 x(1-\cos x)}{1-\cos^2 x}\\[1em] &=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{4\cos^2 x(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\[1em] &=&\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{4\cos^2 x}{1+\cos x} = \displaystyle \cfrac{4}{2} = 2 \end{eqnarray*}$

(1)
積の微分法より

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & (x^2\sin x)'\\[0.5em] & = & (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)'\\[0.5em] & = & 2x \sin x + x^2 \cos x \end{eqnarray*}$

(2)
$\dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ であるから, 商の微分法を用いると

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( \dfrac{\cos x}{\sin x} \right)' \\[0.5em] & = & \dfrac{(\cos x)'\sin x - \cos x(\sin x)'}{\sin^2 x}\\[0.5em] & = & -\dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}\\[0.5em] & = & -\dfrac{1}{\sin^2 x} \end{eqnarray*}$

(3)
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ であるから

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( \sin 2x \right)' \\[0.5em] & = & \left( 2\sin x \cos x\right)'\\[0.5em] & = & 2\left( (\sin x)' \cos x + \sin x(\cos x)' \right)\\[0.5em] & = & 2\left( \cos^2 x - \sin^2 x\right)\\[0.5em] & = & 2\cos 2x \end{eqnarray*}$