(1)
$x$ が $-2$ に限りなく近づいていくと $x^2$ は $4$ に限りなく近づいていきます。よって

$\displaystyle \lim_{x\to -2}x^2 = 4$

(2)
$\theta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ に限りなく近づいていくと $\sin \theta$ は $1$ に限りなく近づいていきます。よって

$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}3\sin \theta= 3\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}\sin \theta = 3\cdot 1 = 3$

(3)
$7$ は $t$ を含まないので

$\displaystyle \lim_{t \to 5} 7 = 7$

既約分数式に直してから極限を計算します。

(1)

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{3x^2 + 9x}{3x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{3x(x+3)}{3x} = \lim_{x\to 0} x+3 = 3$

(2)

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2 + 21x - 46}{x^2 + x -6} = \lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+23)}{(x-2)(x+3)} = \lim_{x\to 2} \dfrac{x+23}{x+3} = \dfrac{25}{5} = 5$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$ ($c$ は定数かつ $n \gt 0$) を利用します。

(1)
分子と分母を $x$ で割ると

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{4x + 3}{-x+2} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{4 + \dfrac{3}{x}}{ -1 + \dfrac{2}{x}} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x\to \infty} 4 + \lim_{x \to \infty} \dfrac{3}{x}}{\displaystyle \lim_{x\to \infty} (-1) + \lim_{x \to \infty} \dfrac{2}{x}} = \dfrac{4 + 0}{-1 + 0} = -4$

(2)
分子と分母を $x^2$ で割ると

$\begin{eqnarray*}\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{-6x^2 + 5x + 8}{-3x^2+10x -3} & = & \lim_{x\to \infty}\dfrac{-6 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{8}{x^2}}{-3 + \dfrac{10}{x} - \dfrac{3}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{\displaystyle \lim_{x\to \infty}(-6) + \lim_{x\to \infty}\dfrac{5}{x} + \lim_{x\to \infty}\dfrac{8}{x^2}}{\displaystyle \lim_{x\to \infty}(-3) + \lim_{x\to \infty}\dfrac{10}{x} - \lim_{x\to \infty}\dfrac{3}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{-6+0+0}{-3+0-0} = 2\end{eqnarray*}$

$x \gt 0$ の時, $\dfrac{1}{x} = \sqrt{\dfrac{1}{x^2}}$ であることに注意しましょう。

また $f(x) \geqq 0$ で $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \alpha$ の時,

$\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{f(x)} = \sqrt{\alpha}$

が成り立ちます。

(1)
分子と分母を $x$ で割ると

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{ \sqrt{4x^2 + 7x -3} }{2x-4} = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ \sqrt{4 + \dfrac{7}{x} - \dfrac{3}{x^2}} }{ 2 - \dfrac{4}{x}} = \dfrac{ \sqrt{4 + 0 -0} }{2 -0} = \dfrac{2}{2} = 1$

(2)
分子と分母に $\left( \sqrt{x^2 +4x +8} + (x-3) \right)$ をかけることで 「分子の有理化」を行います。

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{x^2 +4x +8} - (x-3) \right)$

$\displaystyle = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ \left( \sqrt{x^2 +4x +8} - (x-3) \right)\left( \sqrt{x^2 +4x +8} + (x-3) \right)}{ \sqrt{x^2 +4x +8} + (x-3) }$

$\displaystyle = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ (x^2 +4x +8) - (x-3)^2 }{ \sqrt{x^2 +4x +8} + x-3 }$

$\displaystyle = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ (x^2 +4x +8) - (x^2 - 6x +9) }{ \sqrt{x^2 +4x +8} + x-3 }$

$\displaystyle = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ 10x-1 }{ \sqrt{x^2 +4x +8} + x-3 }$

$\displaystyle = \lim_{x\to \infty}\dfrac{ 10-\dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 +\dfrac{4}{x} +\dfrac{8}{x^2}} + 1-\dfrac{3}{x} }= \dfrac{ 10 }{ 1+1 } = 5$

$x$ が $a$ に限りなく近づくにつれて, $f(x)$ の値が限りなく大きくなる時, $f(x)$ は正の無限大に 発散する といい

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty$

と表します。同様に, $f(x) \lt 0$ で $|f(x)|$ の値が限りなく大きくなる時, $f(x)$ は負の無限大に発散するといい

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$

と表します。

(1)
$\dfrac{1}{x^2} \gt 0$ であり, 分母が $0$ に限りなく近づくと, 分数の値は限りなく大きくなります。よって

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2} = \infty$

(2)
分子と分母を $x^2$ で割ると

$\dfrac{-3x^3 + 2x^2 + 1}{-4x^2+3x-1} = \dfrac{-3x + 2 + \dfrac{1}{x^2}}{-4 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{3x - 2 - \dfrac{1}{x^2}}{4 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

ここで $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 3x = \infty$ なので

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x-2-\dfrac{1}{x^2}\right) = \infty$

また

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(4 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) = 4$

分母が定数に収束し, 分子が正の無限大に発散するので

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{-3x^3 + 2x^2 + 1}{-4x^2 + 3x -1} =\infty$

となります。