I. 関数の極限って何?
要点まとめ
- 関数 $f(x)$ に対し, $x ~(\not= a)$ が $a$ に限りなく近づくと $f(x)$ の値が $b$ に限りなく近づく時,
$b$ を, $f(x)$ の $x=a$ における 極限値 という。
- この時, $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = b$ や, $x \rightarrow a$ のとき $f(x) \rightarrow b$ 等と表す。
- 極限値が存在しないこともある。
- 極限値が存在しても, $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ は $f(a)$ と一致するとは限らない。
- $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \alpha,~\lim_{x \to a}g(x) = \beta$ のとき, 次が成り立つ。
- $\displaystyle \lim_{x \to a}kf(x) = k \alpha$ ($k$ は定数)
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} = \alpha + \beta$
- $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)g(x) = \alpha \beta$
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\alpha}{\beta}$ (ただし, $\beta \not= 0$)
- $a$ の近くで $f(x) \leqq g(x)$ ならば, $\alpha \leqq \beta$
- $a$ の近くで $f(x) \leqq h(x) \leqq g(x)$ かつ $\alpha = \beta$ ならば
$\displaystyle \lim_{x\to a}h(x) = \alpha$ (はさみうちの原理)
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