11. 関数の増減 例題集

$Q1$.
次の関数について, 増減表を書きその増減を調べなさい。

$f(x) = x^2 -4x + 1$
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増減表 $x2f(x)0+f(x)3$
関数 $f(x)$ は $x \lt 2$ の時に減少し, $x \gt 2$ の時に増加する。

ある区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ について次のことが成り立ちます。

区間 $I$ で $f'(x) \lt 0$ ならば $f(x)$ は $I$ で単調に減少する。

区間 $I$ で $f'(x) \gt 0$ ならば $f(x)$ は $I$ で単調に増加する。

$f(x)$ を微分すると

$f'(x) = 2x -4$

であるから

$x \lt 2$ の時 $f'(x) \lt 0$

であり, また

$x \gt 2$ の時 $f'(x) \gt 0$

となります。

このことから増減表を書くと下のようになります。

$x2f(x)0+f(x)3$

$Q2$.
次の関数について, 増減表を書きその増減を調べなさい。

$f(x)=-3x^3+36x^2-135x+6$
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増減表 $x35f(x)0+0f(x)156144$
関数 $f(x)$ は $x \lt 3$ および $5 \lt x$ の時に減少し, $3 \lt x \lt 5$ の時に増加する。

$f(x)$ を微分すると

$f(x)=9x2+72x135=9(x28x+15)=9(x3)(x5)$

であるから

$x \lt 3$ または $5 \lt x$ の時 $f'(x) \lt 0$

であり, また

$3 \lt x \lt 5$ の時 $f'(x) \gt 0$

となります。

このことから増減表を書くと下のようになります。

$x35f(x)0+0f(x)156144$

$Q3$.
ある区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対し, 平均値の定理を用いて次の主張を証明しなさい。

区間 $I$ で $f'(x) \gt 0$ ならば, $f(x)$ は $I$ で単調に増加する。
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区間 $I$ 内の点 $x_1$, $x_2$ に対し

$x_1 \lt x_2$ ならば $f(x_1) \lt f(x_2)$

であることを証明すればよい。

$f(x)$ は区間 $I$ で微分可能であるから, 区間 $[x_1,x_2]$ で連続かつ $(x_1,x_2)$ で微分可能である。

よって平均値の定理より

$\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)~~(x_1 \lt c \lt x_2)$

を満たす $c$ が存在する。

$f(x)$ は区間 $I$ で $f'(x) \gt 0$ であるから特に $f'(c) \gt 0$ であり, 仮定より $x_1 \lt x_2$ であるから

$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \gt 0$

$f(x_1) \lt f(x_2)$ より, $f(x)$ は区間 $I$ で単調に増加する。

同様にして次の主張も証明できます。

区間 $I$ で $f'(x) \lt 0$ ならば, $f(x)$ は $I$ で単調に減少する。