1. 2点間の距離と内分点例題集

$Q1$.
$2$ 点 ${\rm A}(-1,7)$, ${\rm B}(4,-5)$ の間の距離を求めなさい。

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$13$

$2$ 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ の間の距離は

$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

で計算できるので

${\rm AB} = \sqrt{(-1-4)^2 + (7-(-5))^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$

$Q2$.
$2$ 点 ${\rm A}(1,-1)$, ${\rm B}(4,2)$ から等距離にある $x$ 軸上の点 ${\rm C}$ の座標を求めなさい。

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$(3,0)$

点 ${\rm C}$ は $x$ 軸上にあるので, 点 ${\rm C}$ の座標を $(x,0)$ とすると

${\rm AC}^2 = (x-1)^2 + (0-(-1))^2 = x^2-2x+2$

${\rm BC}^2 = (x-4)^2 + (0-2)^2 = x^2 -8x +20$

${\rm AC} = {\rm BC}$ より, ${\rm AC}^2 = {\rm BC}^2$ であるから

$x^2-2x+2 = x^2 -8x +20$

整理すると $6x = 18$ より $x=3$ となります。

$Q3$.
$2$ 点 ${\rm A}(-2,5)$, ${\rm B}(10,5)$ を結ぶ線分 ${\rm AB}$ を $5:1$ に内分する点 ${\rm C}$ の座標を求めなさい。

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${\rm C}(8,5)$

$2$ 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ を端点とする線分を $m:n$ に内分する点の座標は

$\left( \dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \dfrac{ny_1 + my_2}{m+n} \right)$

で与えられます。よって, ${\rm AB}$ を $5:1$ に内分する点の座標は

$\left( \dfrac{1\cdot (-2) + 5\cdot 10}{5+1}, \dfrac{1\cdot 5 + 5\cdot 5}{5+1} \right) = (8,5)$

$Q4$.
$2$ 点 ${\rm A}(7,-5)$, ${\rm B}(8,-8)$ を結ぶ線分 ${\rm AB}$ を $7:8$ に外分する点 ${\rm C}$ の座標を求めなさい。

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${\rm C}(0,16)$

$2$ 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ を端点とする線分を $m:n$ に外分する点の座標は

$\left( \dfrac{ - nx_1 + mx_2}{m-n}, \dfrac{ - ny_1 + my_2}{m-n} \right)$

で与えられます。よって, ${\rm AB}$ を $7:8$ に外分する点の座標は

$\left( \dfrac{- 8\cdot 7 + 7\cdot 8 }{7-8}, \dfrac{-8\cdot (-5) + 7\cdot (-8)}{7-8} \right) = (0,16)$

$Q5$.
$3$ 点 ${\rm A}(9,10)$, ${\rm B}(-2,8)$, ${\rm C}(2,6)$ を頂点とする三角形の重心の座標を求めなさい。

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$(3,8)$

$3$ 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ を頂点とする三角形の重心の座標は

$\left( \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$

で与えられます。よって, 求める重心の座標は

$\left( \dfrac{9-2+2}{3}, \dfrac{10+8+6}{3} \right) = (3,8)$

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