$Q1$.
次の値を計算しなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
${\rm A}$, ${\rm B}$, ${\rm C}$, ${\rm D}$, ${\rm E}$ の $5$ つの文字の中から $3$ つの文字を選んで並べる時, その並べ方は何通りあるか答えなさい。
解答・解説を見る$5$ つのものの中から $3$ つを選ぶ順列なので, その場合の数は
${}_5{\rm P}_3 = 5\cdot 4\cdot 3 = 60$
より $60$ 通りになります。
$Q3$.
異なるアルファベット $26$ 文字の中から, 重複せずに $2$ つを選び $2$ 文字の単語を作る時, 何種類の単語が作れるか答えなさい。
解答・解説を見る$26$ 文字の中から $2$ つを選ぶ順列なので, その場合の数は
${}_{26}{\rm P}_2 = 26\cdot 25 = 650$
よって $650$ 種類の単語が作れます。
$Q4$.
男子 $3$ 人と女子 $4$ 人が横 $1$ 列に並ぶ時, 女子 $4$ 人が隣り合う並び方は何通りあるか答えなさい。
解答・解説を見る女子 $4$ 人が横並びになるので, まず女子 $4$ 人を $1$ グループとして考えます。
つまり「男子 $3$ 人 $+$ $1$ グループ」の $4$ つのものを $1$ 列に並べる方法を考えると, その並び方は
$4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24$
より $24$ 通りになります。
その各々の並び方について, 「グループ」の中の女子 $4$ 人の並び方は
$4! = 24$
より $24$ 通りになります。積の法則から
$24 \cdot 24 = 576$
よって女子 $4$ 人が隣り合う並び方は $576$ 通りになります。
$Q5$.
男子 $4$ 人と女子 $2$ 人が横 $1$ 列に並ぶ時, 女子が隣り合わない並び方は何通りあるか答えなさい。
解答・解説を見る女子が隣り合わない並び方は次のようになればよいことがわかります。
○ 男 ○ 男 ○ 男 ○ 男 ○
ただし, 上の $5$ 箇所の ○ のどこか $2$ 箇所に女子が $1$ 人ずつ入るものとします。
このような女子の並び方は $5$ つの場所から $2$ つ選んで並べればよいので, 女子の並び方は
${}_5{\rm P}_2 = 5\cdot 4 = 20$
より $20$ 通りになります。男子の並び方は $4! = 24$ 通りなので, 積の法則から
$20 \cdot 24 = 480$
よって女子が隣り合わない並び方は $480$ 通りになります。
$Q6$.
$1$, $2$, $3$, $4$, の $4$ 種類の数字のみを使って $3$ 桁の自然数を作る時, 何種類の自然数が作れるか答えなさい。
解答・解説を見る各位の数字の選び方は $1$ から $4$ までの $4$ 通りあるので, その場合の数は
$4^3 = 4\cdot 4\cdot 4 = 64$
よって $64$ 種類の自然数が作れます。
$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2 \cdot 1$
であり, また
${}_n{\rm P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) =\dfrac{n!}{(n-r)!}$
となります。
(1)
$3! = 3\cdot 2\cdot 1= 6$
(2)
$5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$
(3)
${}_6{\rm P}_2 = 6\cdot 5 = 30$
(4)
${}_5{\rm P}_5 = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$
(5)
${}_7{\rm P}_5 = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 = 2520$