$1$ 桁の奇数は $1,3,5,7,9$ の $5$ つ存在するので, 各位の数の選び方はそれぞれ

百の位 $5$ 通り

十の位 $5$ 通り

一の位 $5$ 通り

となります。

積の法則から, 各位が全て奇数になる場合の数は

$5 \cdot 5\cdot 5 = 125$

より $125$ 通りあることがわかります。

よって各位が全て奇数になる $3$ 桁の自然数は $125$ 個存在します。

積の法則から求める場合の数は

$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

となり, $24$ 通りになります。

出た目の和の最大値は $6+6=12$ なので, 出た目の和が $3,6,9,12$ となる場合をそれぞれ考えます。

サイコロの出た目を (大の出た目, 小の出た目) と表すと

• 和が $3$ の時は $(1,2),~(2,1)$ の $2$ 通り

• 和が $6$ の時は

  $(1,5),~(2,4),~(3,3),~(4,2),~(5,1)$

  の $5$ 通り

• 和が $9$ の時は

  $(3,6),~(4,5),~(5,4)~,(6,3)$

  の $4$ 通り

• 和が $12$ の時は $(6,6)$ の $1$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から

$2+5+4+1 = 12$

より $12$ 通りとなります。

まず $x$ の値を固定して考えます。

$y,z$ は $1$ 以上なので

$x = 9-y-z \leqq 9-1-1 =7$

よって $1 \leqq x \leqq 7$ であることがわかります。

$x,y,z$ の値の組を $(x,y,z)$ と表すと

• $x=1$ の時

  $(1,1,7)$, $(1,2,6)$, $(1,3,5)$, $(1,4,4)$, $(1,5,3)$, $(1,6,2)$, $(1,7,1)$

  の $7$ 通り

• $x=2$ の時

  $(2,1,6)$, $(2,2,5)$, $(2,3,4)$, $(2,4,3)$, $(2,5,2)$, $(2,6,1)$

  の $6$ 通り

• $x=3$ の時

  $(3,1,5)$, $(3,2,4)$, $(3,3,3)$, $(3,4,2)$, $(3,5,1)$

  の $5$ 通り

• $x=4$ の時

  $(4,1,4)$, $(4,2,3)$, $(4,3,2)$, $(4,4,1)$

  の $4$ 通り

• $x=5$ の時

  $(5,1,3)$, $(5,2,2)$, $(5,3,1)$

  の $3$ 通り

• $x=6$ の時 $(6,1,2)$, $(6,2,1)$ の $2$ 通り

• $x=7$ の時 $(7,1,1)$ の $1$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から

$7+6+5+4+3+2+1 = 28$

より $28$ 通りとなります。

大の出た目を固定して考えます。

サイコロの出た目を ( 大の出た目, 中の出た目, 小の出た目 ) のように表すと

• 大の出た目が $4$ の時 $(4,6,6)$ の $1$ 通り

• 大の出た目が $5$ の時 $(5,6,5)$, $(5,5,6)$ の $2$ 通り

• 大の出た目が $6$ の時

  $(6,4,6)$, $(6,5,5)$, $(6,6,4)$

  の $3$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から $1+2+3=6$ より $6$ 通りとなります。

$1800$ を素因数分解すると

$1800 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

したがって, $1800$ の約数は次の形で表されます。

$ 2^p \cdot 3^q \cdot 5^r~~(p=0,1,2,3,~q=0,1,2,~r=0,1,2)$

ここで $p,q,r$ の選び方はそれぞれ $4$ 通り, $3$ 通り, $3$ 通りなので, 約数の個数は積の法則から

$4\cdot 3\cdot 3 = 36$

より $36$ 個となります。

※ 実際 $1800$ の約数を全て書き出すと以下のようになります。

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$, $15$, $18$, $20$, $24$, $25$, $30$, $36$, $40$, $45$, $50$, $60$, $72$, $75$, $90$, $100$, $120$, $150$, $180$, $200$, $225$, $300$, $360$, $450$, $600$, $900$, $1800$