1. 場合の数 例題集

$Q1$.
$3$ 桁の自然数の中で, $113$ や $157$ のように各位の数が全て奇数になるものはいくつ存在するか答えなさい。

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$125$ 個

$1$ 桁の奇数は $1,3,5,7,9$ の $5$ つ存在するので, 各位の数の選び方はそれぞれ

百の位 $5$ 通り

十の位 $5$ 通り

一の位 $5$ 通り

となります。

積の法則から, 各位が全て奇数になる場合の数は

$5 \cdot 5\cdot 5 = 125$

より $125$ 通りあることがわかります。

よって各位が全て奇数になる $3$ 桁の自然数は $125$ 個存在します。

$Q2$.
${\rm A}$ 地点から ${\rm B}$ 地点に行く方法が $4$ 通り, ${\rm B}$ 地点から ${\rm C}$ 地点に行く方法が $3$ 通り, ${\rm C}$ 地点から ${\rm D}$ 地点に行く方法が $2$ 通りそれぞれ存在する時, ${\rm A}$ 地点から ${\rm B}$ 地点, ${\rm C}$ 地点を通って ${\rm D}$ 地点に行く方法は何通りあるか答えなさい。

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$24$ 通り

積の法則から求める場合の数は

$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

となり, $24$ 通りになります。

$Q3$.
大小 $2$ つのサイコロを投げた時, 出た目の和が $3$ の倍数になるのは何通りか答えなさい。

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$12$ 通り

出た目の和の最大値は $6+6=12$ なので, 出た目の和が $3,6,9,12$ となる場合をそれぞれ考えます。

サイコロの出た目を (大の出た目, 小の出た目) と表すと

  • 和が $3$ の時は $(1,2),~(2,1)$ の $2$ 通り

  • 和が $6$ の時は

    $(1,5),~(2,4),~(3,3),~(4,2),~(5,1)$

    の $5$ 通り

  • 和が $9$ の時は

    $(3,6),~(4,5),~(5,4)~,(6,3)$

    の $4$ 通り

  • 和が $12$ の時は $(6,6)$ の $1$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から

$2+5+4+1 = 12$

より $12$ 通りとなります。

$Q4$.
$x+y+z=9$ を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ はいくつあるか答えなさい。

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$28$ 通り

まず $x$ の値を固定して考えます。

$y,z$ は $1$ 以上なので

$x = 9-y-z \leqq 9-1-1 =7$

よって $1 \leqq x \leqq 7$ であることがわかります。

$x,y,z$ の値の組を $(x,y,z)$ と表すと

  • $x=1$ の時

    $(1,1,7)$, $(1,2,6)$, $(1,3,5)$, $(1,4,4)$, $(1,5,3)$, $(1,6,2)$, $(1,7,1)$

    の $7$ 通り

  • $x=2$ の時

    $(2,1,6)$, $(2,2,5)$, $(2,3,4)$, $(2,4,3)$, $(2,5,2)$, $(2,6,1)$

    の $6$ 通り

  • $x=3$ の時

    $(3,1,5)$, $(3,2,4)$, $(3,3,3)$, $(3,4,2)$, $(3,5,1)$

    の $5$ 通り

  • $x=4$ の時

    $(4,1,4)$, $(4,2,3)$, $(4,3,2)$, $(4,4,1)$

    の $4$ 通り

  • $x=5$ の時

    $(5,1,3)$, $(5,2,2)$, $(5,3,1)$

    の $3$ 通り

  • $x=6$ の時 $(6,1,2)$, $(6,2,1)$ の $2$ 通り

  • $x=7$ の時 $(7,1,1)$ の $1$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から

$7+6+5+4+3+2+1 = 28$

より $28$ 通りとなります。

$Q5$.
大中小 $3$ つのサイコロを投げた時, 出た目の和が $16$ になるのは何通りあるか答えなさい。

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$6$ 通り

大の出た目を固定して考えます。

サイコロの出た目を ( 大の出た目, 中の出た目, 小の出た目 ) のように表すと

  • 大の出た目が $4$ の時 $(4,6,6)$ の $1$ 通り

  • 大の出た目が $5$ の時 $(5,6,5)$, $(5,5,6)$ の $2$ 通り

  • 大の出た目が $6$ の時

    $(6,4,6)$, $(6,5,5)$, $(6,6,4)$

    の $3$ 通り

よって求める場合の数は和の法則から $1+2+3=6$ より $6$ 通りとなります。

$Q6$.
$1800$ の約数の個数を求めなさい。

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$36$ 個

$1800$ を素因数分解すると

$1800 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

したがって, $1800$ の約数は次の形で表されます。

$ 2^p \cdot 3^q \cdot 5^r~~(p=0,1,2,3,~q=0,1,2,~r=0,1,2)$

ここで $p,q,r$ の選び方はそれぞれ $4$ 通り, $3$ 通り, $3$ 通りなので, 約数の個数は積の法則から

$4\cdot 3\cdot 3 = 36$

より $36$ 個となります。

※ 実際 $1800$ の約数を全て書き出すと以下のようになります。

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$, $15$, $18$, $20$, $24$, $25$, $30$, $36$, $40$, $45$, $50$, $60$, $72$, $75$, $90$, $100$, $120$, $150$, $180$, $200$, $225$, $300$, $360$, $450$, $600$, $900$, $1800$