$2$ 次形式 $ax^2 + 2bxy + cy^2$ に対し, 対称行列を $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ と定めれば

$ax^2 + 2bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

が成り立ちます。

(1)
$a=1$, $b=0$, $c=-1$ とすればよいので

$x^2 - y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(2)
$a=3$, $b=-2$, $c=2$ とすればよいので

$3x^2 -4xy +2y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(3)
$a=0$, $b=3$, $c=0$ とすればよいので

$6xy = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(4)
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy+y^2$ であるから

$(x+y)^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2eyz + 2fzx$ は, 対称行列を用いて

$ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2eyz + 2fzx = \begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & d & f \\ d & b & e \\ f & e & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

と表すことができます。

(1)
$a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=3$, $e=4$, $f=1$ なので

$x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 6xy + 8yz + 2zx = \begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

(2)
$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz +2zx$ であるから

$(x+y+z)^2 = \begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

となります。

$2$ 次形式を対称行列を用いて表すと

$9x^2 -8xy -6y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -4 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -4 & -6 \end{pmatrix}$ として, $A$ の固有値を求めていきます。

$\begin{eqnarray*} |\lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 9 & 4 \\ 4 & \lambda + 6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^2 -3\lambda -70 \\[1em] & = & (\lambda + 7)(\lambda -10)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -7, 10$ となります。

$\lambda = -7$ の時

$\begin{pmatrix} -16 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16x+4y \\ 4x -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y = 4x$ より, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1\begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}~~(c_1\not=0)$

また $\lambda=10$ の時

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 16 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4y \\ 4x +16y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = -4y$ より, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_2} = c_2\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}~~(c_2\not=0)$

よって 直交行列 $T$ を

$T = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}1 & -4 \\4 & 1\end{pmatrix}$

とすると ${}^t\!TAT = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$ となるので

$A = T\begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} {}^t\!T$

が成り立ちます。ここで

$\begin{pmatrix} x' & y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}T = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix} x +4y & -4x+y \end{pmatrix}$

とすれば

$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix} = {}^t \begin{pmatrix} x' & y' \end{pmatrix} = {}^t\!\left( \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}T\right) = {}^t\!T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

であることに注意すると

$\begin{eqnarray*} 9x^2 -8xy -6y^2 & = & \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}T\begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}{}^t\!T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} x' & y' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1em] & = & -7x'^2 + 10y'^2 \end{eqnarray*}$

よって標準形は $-7x'^2 + 10y'^2$ となります。