次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x - 3y, -x + 4y)$
$g: (x,y) \mapsto (3x + 7y, 4x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-9x - 20y , 13x + 29y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x - 21y , -4x + 36y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-3x + 28y , 4x - 27y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4 & 19 \\ -5 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-4x + 19y , -5x + 24y)$
である。
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (x + 10y, x + 9y)$
$g: (x,y) \mapsto (2x + y, -x )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (2x + 10y , -x + 9y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + y , -7x + y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x + 18y , x + 18y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 29 \\ -1 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (3x + 29y , -x - 10y)$
である。
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-4x + y, 7x - 2y)$
$g: (x,y) \mapsto (-3x - y, -2x - y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (5x - y , x )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (10x + 3y , -17x - 5y )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-30x + 7y , -19x + 7y )$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-22x + 9y , 11x - y )$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (5x - y , x )$
である。
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-3x + 2y, 2x - y)$
$g: (x,y) \mapsto (-4x + 3y, -3x + 2y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (18x - 11y , 13x - 8y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (6x - 5y , -5x + 4y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-12x + 7y , -17x + 10y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-2x + y , x)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 18 & -11 \\ 13 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (18x - 11y , 13x - 8y)$
である。
次の $2$ つの線形変換 $f$, $g$ に対し, それらの合成変換 $g \circ f$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$f: (x,y) \mapsto (-9x - 8y, x + y)$
$g: (x,y) \mapsto (x - 2y, -x + 3y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 6y , y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-x - 33y , 3x -5y)$
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-8x - 10y , 12x + 2y)$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
であり, また $g$ の表現行列を $B$ とすると
$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
である。$g \circ f$ の表現行列は $BA$ であるから
$\begin{eqnarray*} BA & = & \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -11 & -10 \\ 12 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$g \circ f: (x,y) \mapsto (-11x - 10y , 12x + 11y)$
である。