$Q1$.
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ と線形変換 $f$ が次を満たす時, $-3\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}$ の $f$ による像を求めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
次の行列で表される線形変換について, 直線 $y=2x+3$ の像を求めなさい。
解答・解説を見る直線 $y=2x+3$ 上の点の座標は $(x,2x+3)$ という形をしているので, この点の $A$ による像 $(x',y')$ を計算すると
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x+6 \\ 2x+9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' = 5x+6\\ y' = 2x+9 \end{aligned} \right.$
となることがわかります。$2$ つの式から $x$ を消去すると
$2x' -5y' = 12 - 45 = -33$
より $2x' -5y' + 33=0$ となり, これが像の方程式になります。
$Q3$.
次の行列で表される線形変換について, 直線 $y=10x+5$ の像が自分自身である時, $a$ と $b$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る直線 $y=10x+5$ の像を計算すると
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 10x+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11x+5 \\ (a+10b)x+5b \end{pmatrix}$
この点が再び直線 $y=10x+5$ 上にあるので, $x$ と $y$ に代入すると
$(a+10b)x+5b = 10(11x+5)+5$
左辺にまとめて整理すると
$(a+10b -110)x +(5b -55)=0$
これが全ての $x$ について成り立つので
$\begin{aligned} a+10b-110 & =0 ~~\cdots(1)\\ 5b-55 & =0 ~~\cdots(2) \end{aligned}$
$(2)$ より $b=11$ であり, これを $(1)$ に代入すると $a=0$ となります。
$Q4$.
$2$ 次正方行列 $A$ に対し, $f(\overrightarrow{x}) =A\overrightarrow{x}$ で定義される線形変換 $f$ は次の性質を持つことを確認しなさい。
解答・解説を見る行列の計算において,
$A(B+C) = AB+AC$
と
$A(kB) = k(AB)~~~$ ($k$ は実数)
が成り立つことに注意すると
$\begin{eqnarray*}f(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y}) & = & A(k\overrightarrow{x} + l\overrightarrow{y})\\[1em] & = & A(k\overrightarrow{x}) + A(l\overrightarrow{y})\\[1em] & = & k(A\overrightarrow{x}) + l(A\overrightarrow{y}) \\[1em] & = & kf(\overrightarrow{x}) + lf(\overrightarrow{y}) \end{eqnarray*}$
よって $f$ は上の性質を持つことがわかる。
$Q5$.
平面上の変換 $f$ が次の性質を持つ時, ある $2$ 次正方行列 $A$ を用いて, $f(\overrightarrow{x}) =A\overrightarrow{x}$ と表せることを証明しなさい。
解答・解説を見る$2$ つのベクトル $\overrightarrow{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\overrightarrow{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像を
$f(\overrightarrow{e_1}) = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix},~~~f(\overrightarrow{e_2}) = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$
とする。 任意のベクトル $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対し
$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x\overrightarrow{e_1} + y\overrightarrow{e_2}$
であるから, $f$ の性質を使うと
$\begin{eqnarray*}f(\overrightarrow{x}) & = & f(x\overrightarrow{e_1} + y\overrightarrow{e_2})\\[1em] & = & xf(\overrightarrow{e_1}) + yf(\overrightarrow{e_2})\\[1em] & = & x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と定めれば, 任意の $\overrightarrow{x}$ に対し
$f(\overrightarrow{x}) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \overrightarrow{x} = A\overrightarrow{x}$
が成り立つ。
線形変換 $f$ は 実数 $k,l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し, 次の性質を持ちます。
$f(k\overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$
この性質は一般に 線形性 と呼ばれます。
線形変換の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} f(-3\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}) & = & -3f(\overrightarrow{a}) -2f(\overrightarrow{b})\\[1em] & = & -3\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}1 \\ -4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3-2 \\ -6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$