$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと

$ $$\begin{eqnarray*} (A~E) & = &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) - 5\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 13 & -5 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + 2\times(1) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 13 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{13} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + 3\times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + 3\times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & 0 & -4 & \dfrac{11}{13} & \dfrac{3}{13} & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{-\frac{1}{4} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \dfrac{5}{13} & \dfrac{1}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) - (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \dfrac{9}{52} & \dfrac{7}{52} & \dfrac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

よって

$A^{-1} = $$\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & 0 \\ - \dfrac{9}{52} & \dfrac{7}{52} & \dfrac{1}{4} \\-\dfrac{11}{52} & -\dfrac{3}{52} & -\dfrac{1}{4} \end{pmatrix}$$ $

なので $a_{31} = -\dfrac{11}{52}$ である。

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと

$ $$\begin{eqnarray*} (A~E) & = &  \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) + 3\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - 2\times(1) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{4} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) - 2 \times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - \dfrac{11}{4} & - \dfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ \frac{1}{5} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

よって

$A^{-1} = $$\begin{pmatrix} -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}$$ $

なので $a_{22} = \dfrac{1}{5}$ である。

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと

$ $$\begin{eqnarray*} (A~E) & = &  \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) + 3\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - 2\times(1) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{4} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) - 2 \times(2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) - (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - \dfrac{11}{4} & - \dfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ \frac{1}{5} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & -1 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) + (3)} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

よって

$A^{-1} = $$\begin{pmatrix} -\dfrac{21}{20} & -\dfrac{11}{20} & \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\ - \dfrac{11}{20} & - \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}$$ $

なので $a_{11} = -\dfrac{21}{20}$ である。

$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列 $(A~E)$ に行基本変形を施すと

$ $$\begin{eqnarray*} (A~E) & = &  \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ (2) - 2\times (1)} & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(3) + (1) } & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{\frac{1}{2} \times (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) - (2)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{15}{2} & 2 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{-\frac{1}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{15}{2} & 2 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(1) + \frac{15}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ 0 & 1 & \dfrac{7}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{(2) - \frac{7}{2} \times (3)} & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{7}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

よって

$A^{-1} = $$\begin{pmatrix} -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{15}{4} \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{7}{4} \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $

なので $a_{23} = \dfrac{7}{4}$ である。