空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (-2,1,-2),~\overrightarrow{b} = (-1,-3,0),~\overrightarrow{c} = (-3,4,-2)$
が作る四面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$3$
$4$
$6$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る四面体の体積を $V$ とすると
$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -2 & -1 & -3 \\ 1 & -3 & 4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| -12 + 8 + 0 -0 -2 + 18 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot 12 = 2 \end{eqnarray*}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (3,5,-2),~\overrightarrow{b} = (4,0,2),~\overrightarrow{c} = (-2,-4,4)$
が作る四面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{22}{3}$
$\dfrac{23}{3}$
$\dfrac{28}{3}$
$\dfrac{29}{3}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る四面体の体積を $V$ とすると
$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 5 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| 0 + 32 - 20 + 24 - 80 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot |-44| = \dfrac{22}{3} \end{eqnarray*}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (-4,-2,4),~\overrightarrow{b} = (0,-2,-4),~\overrightarrow{c} = (2,-4,-2)$
が作る四面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{40}{3}$
$\dfrac{20}{3}$
$\dfrac{80}{3}$
$\dfrac{50}{3}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る四面体の体積を $V$ とすると
$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & -2 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| -16 + 0 + 16 + 64 - 0 + 16 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot 80 = \dfrac{40}{3} \end{eqnarray*}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (-2,0,0),~\overrightarrow{b} = (3,1,-1),~\overrightarrow{c} = (0,3,1)$
が作る四面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{8}{3}$
$\dfrac{2}{3}$
$2$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る四面体の体積を $V$ とすると
$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| - 2 + 0 + 0 - 6 - 0 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot |-8| = \dfrac{4}{3} \end{eqnarray*}$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (2,2,3),~\overrightarrow{b} = (5,0,-4),~\overrightarrow{c} = (1,-4,5)$
が作る四面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$25$
$50$
$75$
$100$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る四面体の体積を $V$ とすると
$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| 0 - 60 - 8 - 32 - 50 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot | -150| = 25 \end{eqnarray*}$