ベクトルの内積 例題集

$Q1$.
$|\overrightarrow{a}| = 1$, $|\overrightarrow{b}| = 2$ かつ, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角 $\theta$ が $\dfrac{\pi}{3}$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積を求めなさい。

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$1$

内積の定義に従って計算すると

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta = 1\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$

$Q2$.
$\overrightarrow{a} = (2,-4)$, $\overrightarrow{b} = (3,1)$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積を計算しなさい。

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$2$

各成分同士をかけたものを足し合わせます。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\cdot 3 + (-4)\cdot 1 = 6-4=2$

$Q3$.
$\overrightarrow{a} = (5,3)$, $\overrightarrow{b} = (2,8)$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を求めなさい。

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$\dfrac{\pi}{4}$

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ とすると, 内積の定義から

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} $

が成り立ちます。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5\cdot 2 + 3\cdot 8 = 34$

であり, また

$|a|=52+32=34|b|=22+82=217$

であるから

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{34}{\sqrt{34} \cdot 2\sqrt{17}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

よって $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ となります。

$Q4$.
$|\overrightarrow{a}|=1$, $|\overrightarrow{b}|=2$, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 3$ の時, $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$ を求めなさい。

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$\sqrt{11}$

内積に関する計算法則を利用すると

$|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+2(ab)+|b|2=12+23+22=11$

よって $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{11}$ となります。

$Q5$.
平行四辺形 ${\rm ABCD}$ について ${\rm AB} =2$, ${\rm AD} =1$, $\angle {\rm BAD} = \dfrac{\pi}{3}$ の時, ${\rm AC}$ の長さを求めなさい。

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$\sqrt{7}$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm BC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}}$

であるから

$|AC|2=(AB+AD)(AB+AD)=|AB|2+2(ABAD)+|AD|2=22+221cosπ3+12=4+2+1=7$

よって ${\rm AC} = \sqrt{7}$ となります。