内積の定義に従って計算すると

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta = 1\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$

各成分同士をかけたものを足し合わせます。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\cdot 3 + (-4)\cdot 1 = 6-4=2$

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ とすると, 内積の定義から

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} $

が成り立ちます。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5\cdot 2 + 3\cdot 8 = 34$

であり, また

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{a}| & = & \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}\\ |\overrightarrow{b}| & = & \sqrt{2^2 + 8^2} = 2\sqrt{17} \end{eqnarray*}$

であるから

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{34}{\sqrt{34} \cdot 2\sqrt{17}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

よって $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ となります。

内積に関する計算法則を利用すると

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 & = & (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\\[0.5em] & = & |\overrightarrow{a}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) +|\overrightarrow{b}|^2\\[0.5em] & = & 1^2 + 2\cdot 3 + 2^2 = 11\end{eqnarray*}$

よって $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{11}$ となります。

$\overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm BC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}}$

であるから

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm AC}}|^2 & = & (\overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}})\cdot (\overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}})\\[0.5em] & = & |\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 + 2\left( \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AD}}\right) + |\overrightarrow{{\rm AD}}|^2\\[0.5em] & = & 2^2 + 2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} + 1^2\\[0.5em] & = & 4 + 2 + 1 = 7\end{eqnarray*}$

よって ${\rm AC} = \sqrt{7}$ となります。