$Q1$.
$|\overrightarrow{a}| = 1$, $|\overrightarrow{b}| = 2$ かつ, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角 $\theta$ が $\dfrac{\pi}{3}$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積を求めなさい。
$Q2$.
$\overrightarrow{a} = (2,-4)$, $\overrightarrow{b} = (3,1)$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積を計算しなさい。
各成分同士をかけたものを足し合わせます。
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\cdot 3 + (-4)\cdot 1 = 6-4=2$
$Q3$.
$\overrightarrow{a} = (5,3)$, $\overrightarrow{b} = (2,8)$ の時, $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を求めなさい。
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ とすると, 内積の定義から
$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} $
が成り立ちます。
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5\cdot 2 + 3\cdot 8 = 34$
であり, また
$|→a|=√52+32=√34|→b|=√22+82=2√17$
であるから
$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{34}{\sqrt{34} \cdot 2\sqrt{17}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ となります。
$Q4$.
$|\overrightarrow{a}|=1$, $|\overrightarrow{b}|=2$, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 3$ の時, $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$ を求めなさい。
内積に関する計算法則を利用すると
$|→a+→b|2=(→a+→b)⋅(→a+→b)=|→a|2+2(→a⋅→b)+|→b|2=12+2⋅3+22=11$
よって $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{11}$ となります。
$Q5$.
平行四辺形 ${\rm ABCD}$ について ${\rm AB} =2$, ${\rm AD} =1$, $\angle {\rm BAD} = \dfrac{\pi}{3}$ の時, ${\rm AC}$ の長さを求めなさい。
$\overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm BC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}}$
であるから
$|→AC|2=(→AB+→AD)⋅(→AB+→AD)=|→AB|2+2(→AB⋅→AD)+|→AD|2=22+2⋅2⋅1⋅cosπ3+12=4+2+1=7$
よって ${\rm AC} = \sqrt{7}$ となります。
内積の定義に従って計算すると
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta = 1\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$